Předchozí látkaKombinace bez opakování
Řešená cvičení
Deset osob z dvaceti
Střední škola • 7 min
Kolika způsoby lze z 20-ti osob vybrat 10? Kolika tak, aby:
a) mezi nimi nebyla osoba A
b) nebyly mezi nimi zároveň osoby A,B
c) byla alespoň jedna z osob A,B
Ubytování v pokojích
Střední škola • 6 min
Kolika způsoby lze na turistické chátě, která má dva pokoje pro čtyři a jeden pokoj pro dva, ubytovat 10 osob?
Tiket sportky
Střední škola • 4 min
Kolik existuje různých možností, jak vyplnit tiket sportky, kde volíme 6 čísel ze 49-ti možných?
Testy
-%
Kombinace bez opakování
Střední škola • 4 min
-%
Definice -%
Značení -%
Vzorec -%
Kombinace -%
Úlohy a kombinace
Střední škola • 7 min
-%
Žáci -%
Míče -%
Podrobnosti o látce
Klíčová slova
Kombinace Kombinační číslo Kombinace bez opakování Kombinace FaktoriálAutor videa
Dominik Chládek
Autor matematiky na isibalu :)
Klíčová slova
Střední škola
Odhadovaná délka studia
1 h 10 min
Poznámka k videu
Kombinace bez opakování si můžeme představit tak, že vybíráme prvky (například lidi) tak, že nezáleží na pořadí (například do týmu - tam nezáleží v jakém pořadí lidi vybíráme, ale pouze jaké jsme vybrali).
Pokud chceme odvodit, výpočet, tak začneme variacemi. Pokud chceme vypočítat \(k\)-prvkové kombinace z \(n\) prvků, kdy se prvky nemohou opakovat (a samozřejmě nezáleží na pořadí), tak si nejprve představíme, že na pořadí záleží. Pak je výpočet stejný jako u variací, tedy dostaneme:
\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Nyní ovšem chceme, aby nezáleželo pořadí. Tedy daný výraz vydělíme všemi možnými permutacemi z \(k\) prvků, kterých je \(k!\). To nás vede k výrazu:
\(\dfrac{\dfrac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)
A finální výraz je tedy výpočtem kombinací \(K(k,n)\), tedy platí:
\(K(k,n) = \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)
Tomuto výrazu říkáme kombinační číslo a značíme ho takto:
\(K(k,n) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)
a čteme ho jako \(n\) nad \(k\) a značí tedy vybrání \(k\) prvků z \(n\), kdy nezáleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat.
Komentáře
Jakub 20. 07. 2020 • 21:25
Díky za skvělé vysvětlení jako vždy. U příkladu b) mě trochu zarazila jedna věc. Původně jsem na to chtěl jít tak, že vezmu dvoučlennou kombinaci ze 4 žen, čímž zajistím, že v družstvu budu mít vždy nejméně dvě ženy. To jsem chtěl násobit kombinací druhé dvojice z osmi lidí, protože počítám, že poté, co obsadím první dvojici dvěma ženami, druhé dvě mi zbydou a přičtu je k šesti mužům. Vybírám druhou dvojici tedy z osmi lidí. Tak mi ale finální výsledek vychází 168. Kde prosím v úvaze dělám chybu? Díky!
Dominik Chládek 20. 07. 2020 • 23:18
Dobrý den,
moc děkuji za pochvalu :) děláte chybu v tom, že můžete dostat vícekrát stejné čtvřice. Pokud vyberu nejprve ženy AB a potom z těch osmi CD, tak je to to stejné, jako bych nejprve vybral CD a potom AB, dostanu stejnou čtveřici ale vy je počítáte jako různé :) proto máte číslo větší než má být :)
Dominik
Jana 16. 02. 2020 • 11:42
Super vysvětlené, díky :) ... jen by mě zajímalo (z matematického hlediska), jak je možné, že u vyčíslení příkladu v zadání je b) a c) stejný výsledek ... Snažím se na to přijít, ale už ta představa mi dělala trošku problém a špatně jsem si to vypočítala :(. Díky! :)
Dominik Chládek 17. 02. 2020 • 12:01
Dobrý den, moc děkuji! :) jinak co přesnně myslíte, jaký příklad b) a c)? :)
Dominik Chládek 15. 09. 2017 • 19:57
Díky moc! :)
erorrek 12. 09. 2017 • 01:53
super :)