Kombinace bez opakování


Řešené příklady

Deset osob z dvaceti

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 7 min

Kolika způsoby lze z 20-ti osob vybrat 10? Kolika tak, aby:

a) mezi nimi nebyla osoba A
b) nebyly mezi nimi zároveň osoby A,B

c) byla alespoň jedna z osob A,B


Ubytování v pokojích

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 6 min

Kolika způsoby lze na turistické chátě, která má dva pokoje pro čtyři a jeden pokoj pro dva, ubytovat 10 osob?


Tiket sportky

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 4 min

Kolik existuje různých možností, jak vyplnit tiket sportky, kde volíme 6 čísel ze 49-ti možných?


Všechny příklady (4)

Testy splněno na -%

Kombinace bez opakování

splněno - %

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 4 min

  • Definice -%
  • Značení -%
  • Vzorec -%
  • Kombinace -%


Úlohy a kombinace

splněno - %

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 7 min

  • Žáci -%
  • Míče -%


Klíčová slova

Kombinace | Kombinační číslo | Kombinace bez opakování | Kombinace | Faktoriál

Podrobnosti o látce

Celkové hodnocení (36 hodnotící)

99%

Tvé hodnocení (nehodnoceno)

Pro hodnocení musíte být přihlášen(a)


Autor videa
avatar
Dominik Chládek


Obtížnost: SŠ


Popis videa

Kombinace bez opakování si můžeme představit tak, že vybíráme prvky (například lidi) tak, že nezáleží na pořadí (například do týmu - tam nezáleží v jakém pořadí lidi vybíráme, ale pouze jaké jsme vybrali).

Pokud chceme odvodit, výpočet, tak začneme variacemi. Pokud chceme vypočítat \(k\)-prvkové kombinace z \(n\) prvků, kdy se prvky nemohou opakovat (a samozřejmě nezáleží na pořadí), tak si nejprve představíme, že na pořadí záleží. Pak je výpočet stejný jako u variací, tedy dostaneme:

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

Nyní ovšem chceme, aby nezáleželo pořadí. Tedy daný výraz vydělíme všemi možnými permutacemi z \(k\) prvků, kterých je \(k!\). To nás vede k výrazu:

\(\dfrac{\dfrac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

A finální výraz je tedy výpočtem kombinací \(K(k,n)\), tedy platí:

\(K(k,n) = \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

Tomuto výrazu říkáme kombinační číslo a značíme ho takto:

\(K(k,n) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

a čteme ho jako \(n\) nad \(k\) a značí tedy vybrání \(k\) prvků z \(n\), kdy nezáleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat.


Komentáře

avatar

Jakub
20. 07. 2020 - 21:25

Díky za skvělé vysvětlení jako vždy. U příkladu b) mě trochu zarazila jedna věc. Původně jsem na to chtěl jít tak, že vezmu dvoučlennou kombinaci ze 4 žen, čímž zajistím, že v družstvu budu mít vždy nejméně dvě ženy. To jsem chtěl násobit kombinací druhé dvojice z osmi lidí, protože počítám, že poté, co obsadím první dvojici dvěma ženami, druhé dvě mi zbydou a přičtu je k šesti mužům. Vybírám druhou dvojici tedy z osmi lidí. Tak mi ale finální výsledek vychází 168. Kde prosím v úvaze dělám chybu? Díky!



Dominik Chládek

Dominik Chládek
20. 07. 2020 - 23:18

Dobrý den,

moc děkuji za pochvalu :) děláte chybu v tom, že můžete dostat vícekrát stejné čtvřice. Pokud vyberu nejprve ženy AB a potom z těch osmi CD, tak je to to stejné, jako bych nejprve vybral CD a potom AB, dostanu stejnou čtveřici ale vy je počítáte jako různé :) proto máte číslo větší než má být :)

Dominik


avatar

Jana
16. 02. 2020 - 11:42

Super vysvětlené, díky :) ... jen by mě zajímalo (z matematického hlediska), jak je možné, že u vyčíslení příkladu v zadání je b) a c) stejný výsledek ... Snažím se na to přijít, ale už ta představa mi dělala trošku problém a špatně jsem si to vypočítala :(. Díky! :)



Dominik Chládek

Dominik Chládek
17. 02. 2020 - 12:01

Dobrý den, moc děkuji! :) jinak co přesnně myslíte, jaký příklad b) a c)? :)


Dominik Chládek

Dominik Chládek
15. 09. 2017 - 19:57

Díky moc! :)


avatar

erorrek
12. 09. 2017 - 01:53

super :)


Přihlásit se pro komentář