Kombinace bez opakování

Kombinace bez opakování si můžeme představit tak, že vybíráme prvky (například lidi) tak, že nezáleží na pořadí (například do týmu - tam nezáleží v jakém pořadí lidi vybíráme, ale pouze jaké jsme vybrali).

Pokud chceme odvodit, výpočet, tak začneme variacemi. Pokud chceme vypočítat \(k\)-prvkové kombinace z \(n\) prvků, kdy se prvky nemohou opakovat (a samozřejmě nezáleží na pořadí), tak si nejprve představíme, že na pořadí záleží. Pak je výpočet stejný jako u variací, tedy dostaneme:

\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

Nyní ovšem chceme, aby nezáleželo pořadí. Tedy daný výraz vydělíme všemi možnými permutacemi z \(k\) prvků, kterých je \(k!\). To nás vede k výrazu:

\(\dfrac{\dfrac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

A finální výraz je tedy výpočtem kombinací \(K(k,n)\), tedy platí:

\(K(k,n) = \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

Tomuto výrazu říkáme kombinační číslo a značíme ho takto:

\(K(k,n) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

a čteme ho jako \(n\) nad \(k\) a značí tedy vybrání \(k\) prvků z \(n\), kdy nezáleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat.

Komentáře

Jakub
20. 07. 2020 - 21:25

Díky za skvělé vysvětlení jako vždy. U příkladu b) mě trochu zarazila jedna věc. Původně jsem na to chtěl jít tak, že vezmu dvoučlennou kombinaci ze 4 žen, čímž zajistím, že v družstvu budu mít vždy nejméně dvě ženy. To jsem chtěl násobit kombinací druhé dvojice z osmi lidí, protože počítám, že poté, co obsadím první dvojici dvěma ženami, druhé dvě mi zbydou a přičtu je k šesti mužům. Vybírám druhou dvojici tedy z osmi lidí. Tak mi ale finální výsledek vychází 168. Kde prosím v úvaze dělám chybu? Díky!

Dominik Chládek
20. 07. 2020 - 23:18

Dobrý den,

moc děkuji za pochvalu :) děláte chybu v tom, že můžete dostat vícekrát stejné čtvřice. Pokud vyberu nejprve ženy AB a potom z těch osmi CD, tak je to to stejné, jako bych nejprve vybral CD a potom AB, dostanu stejnou čtveřici ale vy je počítáte jako různé :) proto máte číslo větší než má být :)

Dominik

Jana
16. 02. 2020 - 11:42

Super vysvětlené, díky :) ... jen by mě zajímalo (z matematického hlediska), jak je možné, že u vyčíslení příkladu v zadání je b) a c) stejný výsledek ... Snažím se na to přijít, ale už ta představa mi dělala trošku problém a špatně jsem si to vypočítala :(. Díky! :)

Dominik Chládek
17. 02. 2020 - 12:01

Dobrý den, moc děkuji! :) jinak co přesnně myslíte, jaký příklad b) a c)? :)

Dominik Chládek
15. 09. 2017 - 19:57

Díky moc! :)

erorrek
12. 09. 2017 - 01:53

super :)

Přihlásit se pro komentář