Bernoulliho schéma

Nyní se zaměříme na situaci, kdy opakujeme stále dokola náhodný pokus, který má z našeho pohledu dva možné výsledky, které mohou nastat a pro které tedy platí, že \(P(A)=a\) a \(P(B)=1-a\), kde \(a \in \langle0;1\rangle\).

Pokud tento náhodný pokud provedeme jednou, tak je jasné, že platí \(P(A)=a\) a \(P(B)=1-a\). Co když ho ale provedeme vícekrát? Na výsledek této situace nám odpovídá Bernoulliho schéma (Bernoulliovo schéma), které zní takto:

Pokud provádíme n pokusů s dvěma možnými výsledky s pravděpodobnostmi \(P(A)=a\) a \(P(B)=1-a\) a zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že jev A má k zdařilých výsledků, tak bude výsledná pravděpodobnost:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^kb^{n-k}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^k{(1-a)}^{n-k}\)

Abychom si alespoň naznačili, odkud se výsledek bere, tak se zaměříme například na situaci, kdy 4-krát házíme kostkou a zajímá nás, jaké je pravděpodobnost, že padne šestka právě dvakrát? Je jasné, že pokud je \(A\) jev, že padne šestka, a je \(B\) že se stane pravý opak, tedy že nepadne šestka, tak platí \(P(A)=\frac16\) a \(P(B)=1-\frac16=\frac56\). Pak jsou možné pozitivní situace tyto:

\(\dfrac 16\cdot \dfrac16 \cdot \dfrac56\cdot \dfrac56\), \(\dfrac 16\cdot \dfrac56 \cdot \dfrac16\cdot \dfrac56\), \(\dfrac 16\cdot \dfrac56 \cdot \dfrac56\cdot \dfrac16\), \(\dfrac 56\cdot \dfrac16 \cdot \dfrac16\cdot \dfrac56\), \(\dfrac 56\cdot \dfrac16 \cdot \dfrac56\cdot \dfrac16\), \(\dfrac 56\cdot \dfrac56 \cdot \dfrac16\cdot \dfrac16\)

tedy výsledek bude:

\(6 \cdot \dfrac 16\cdot \dfrac16 \cdot \dfrac56\cdot \dfrac56=6\cdot \left(\dfrac16\right)^2\cdot \left(\dfrac56\right)^2=\dfrac{25}{216}\)

což je přesně to stejné, co odpoví Bernoulliho schéma:

\(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^{2}=6\cdot \left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^{2}=\dfrac{25}{216}\)

Když si všimnete, tak jsme v podstatě zvolili dvě místa ze čtyř, kam umístíme šestku s tím, že nezáleží na pořadí. Což jsou kombinace bez opakování a nebo chcete-li permutace s opakováním pro dva prvky. To je důvod, proč je v Bernoulliho kombinační číslo a dává nám to skutečně výsledek, který chceme.