Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněnou pravděpodobnost využíváme ve chvíli, kdy nás zajímá pravděpodobnost nějakého jevu \(A\) za podmínky že víme, že nastal nějaký jiný jev \(B\). Takovou pravděpodobnost zapisujeme jako \(P(A|B)\) a výpočet vypadá takto:

\(P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Tento vzoreček bychom si mohli lehce představit na obrázku. Představme si, že víme, že nastal jev \(B\) s pravděpodobností \(P(B)\). Potom tedy víme, že mohou nastat pouze výsledky, které jsou pozitivní jevu \(B\). Pozitivní výsledky jevu \(A\) jsou potom ty, které jsou zároveň možným výsledkem jevu \(B\). Tím pádem všechny naše pozitivní výsledky mají pravděpodobnost \(P(A \cap B)\) a nechceme je určit vzhledem ke všem výsledkům, ale k výsledkům pozitivním vůči jevu \(B\), jelikož hledáme pravděpodobnost \(P(A|B)\), tedy dostáváme se přesně k podílu, který je uveden ve vzorci výše a to je naše podmíněná pravděpodobnost, tedy její výpočet.

Ze vzorce výše můžeme také lehce vynásobením zlomku \(P(B)\)vyjádřit pravděpodobnost průniku jevů \(A\) a \(B\) a dostáváme výsledek:

\(P(A \cap B)=P(A|B) \cdot P(B)\)

což je další možný výpočet průniku. Stejně tak nám podmíněná pravděpodobnost umožní rozdělit si výpočet nějaké pravděpodobnosti jevu \(B\) na jednotlivé části, třeba na tři části\(A_1\), \(A_2\) a \(A_3\), které dohromady dávají celou množinu výsledků \(\Omega\), tedy platí:

\(A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega\)

a potom můžeme pravděpodobnost jevu \(B\) vypočítat postupně jako:

\(P(B)= P(B|A_1)\cdot P(A_1)\) \(+\;P(B|A_2)\cdot P(A_2)\) \(+\;P(B|A_3)\cdot P(A_3)\)

což je právě přístup k výpočtu příkladu takový, že složitější úvahy dělíme na dílčí jednotlivé úvahy, které umíme vypočítat a výsledek poté určit jako sečtení těchto dílčích výsledků.

Všimněte si, že pokud platí, že jevy \(A\) a \(B\) jsou nezávislé, tedy že \(P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)\), tak dostáváme:

\(P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) \(=\dfrac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)\)

což je další forma pohledu na nezávislost dvou jevů.