Úvodní problém s testem a Bayesova věta

Nyní, když už známe podmíněnou pravděpodobnost, tak si můžeme zmínit skutečný výsledek příkladu, kterým jsme téma pravděpodobnosti začínali. Zadání zní takto:

Mějme nemoc, kterou trpí 1% populace. Necháme se testovat testem, který má 95% úspěšnost a nám vyjde pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že máme danou nemoc?

Skutečný výpočet je takový, že si označíme jev \(A\) mám nemoc a jev \(B\) mám pozitivní test a nás zajímá, jaká je pravděpodobnost, že \(P(A|B)\), tedy jaká je pravděpodobnost toho, že mám danou nemoc, pokud mi vyšel test pozitivní. Z výpočtu podmíněné pravděpodobnosti dostáváme:

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

tedy zajímá nás v čitateli pravděpodobnost, že mám pozitivní test a zároveň mám nemoc a ve jmenovateli nás zajímá pravděpodobnost toho, že máme pozitivní test.

Nejprve čitatel, tak je výpočet jasný, máme z předchozího videa pro vyjádření průniku jevů postup:

\(P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)\) \(=0,01\cdot 0,95=0,0095\)

Nyní jmenovatel, zde je přesně kouzlo dané úlohy. To, že vyšel pozitivní test ne buď v případě, že nemoc máme a pak je pravděpodobnost 95% že to test odhalí, nebo když nemoc nemáme a tam je 5% šance, že nám test vyjde pozitivní. Proto máme:

\(P(B)=P(B|A) \cdot P(A)+P(B|\overline A) \cdot P(\overline A)\) \(=0,95 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,99=0,059\)

Tedy skutečný výsledek je:

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) \(=\dfrac{0,0095}{0,059}\; \dot=\;0,161=16,1\%\)

takže vidíme, že pravděpodobnost toho, že skutečně danou nemoc máme, když vyšel test pozitivní, je \(16,1\%\). Na tomto příkladu krásně vidíme, že pozitivní test ještě nutně neznamená, že musíme klopit hlavu a připravovat se na nejhorší.