Předchozí látkaKombinace s opakováním
Řešená cvičení
Čtyři karty z balíčku
Střední škola • 4 min
Mějme 32 karet (7,8,9,10,J,Q,K,A + 4 barvy). Kolika způsoby můžeme vybrat 4 karty:
a) když nezáleží na barvě (ale záleží na typu)
b) když nezáleží na typu (ale záleží na barvě)
Nákup kávy
Střední škola • 4 min
V obchodě prodávají v dostatečným množství kávy A,B,C v 50g sáčcích. Kolika způsoby můžeme provést nákup 200g kávy?
Limonády v prodejně
Střední škola • 2 min
V prodejně prodávají 3 druhy limonád v neomezeném množství. My máme za úkol koupit 5 lahví, kolika způsoby to můžeme udělat?
Testy
-%
Kombinace s opakováním
Střední škola • 1 min
-%
Vzorec -%
Podrobnosti o látce
Klíčová slova
Kombinatorika Kombinace Kombinace s opakování Kombinace bez opakování Permutace s opakováním Kombinační číslo Faktoriál Množina PodmnožinaAutor videa
Dominik Chládek
Autor matematiky na isibalu :)
Klíčová slova
Střední škola
Odhadovaná délka studia
0 h 34 min
Poznámka k videu
Poslední nástroj pro výpočet, který si představíme, jsou kombinace s opakování. Znovu, onen rozdíl oproti kombinacím bez opakování je, že dané prvky ze kterých vybíráme můžeme zvolit více-krát. Příkladem takové situace je, pokud máme například míčky různé barvy, které jsou navzájem nerozeznatelné a vybíráme z nich určitý stejný počet.
Kombinace s opakováním jsem zřejmě nejnáročnější koncept z těch, které si představíme. Motivace znovu zvolíme pomocí příkladu. Představme si, že máme neomezený počet míčku každé barvy a máme \(4\) různé barvy míčků a chceme z nich vybrat \(7\) míčků. Postup který zvolíme je, že si představíme v jedné řadě \(7\) koleček, které budou reprezentovat dané míčky a k tomu \(3\) přepážky, které vkládáme mezi tato kolečka a které rozdělují kolečka na \(4\) skupiny (v našem případě \(4\) barvy). Pak seřazení těchto koleček a přepážek udává konkrétní výběr daných barev. Například:
o o o | o o | o | o
znamená, že máme tři míčky první barvy, dva druhé, jeden třetí a jeden čtvrté. A například:
o | | o o o o | o o
znamená, že mám jeden míček první barvy, žádný druhé, čtyři třetí a dva čtvrté barvy.
Jak tedy vypočítat daný počet možností? Tak je zřejmé, že pro \(7\) míčků a 4 barvy máme dohromady \(7+3=10\) prvků k permutování (pro \(4\) barvy nám stačí \(3\) přepážky). Takže je to dohromady \(10!\) možností jak je přeřadit. Ale z permutací s opakováním víme, že pokud jsou od sebe kolečka nerozeznatelná a stejně tak i přepážky, tak musíme výsledek vydělit číslem \(7!\) za kolečka a \(3!\) za přepážky, tedy máme výsledek:
\(\dfrac{10!}{7! \cdot 3!}\)
Pokud tuto úvahu zobecníme na výběr \(k\) míčků \(n\) různých barev, tak máme dohromady \(n+k-1\) prvků k permutování a budeme dělit čísly \(k!\) a \((n-1)!\) a výpočet tedy bude:
\(K'(k,n)=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\)
což můžeme pomocí kombinačního čísla zapsat jako:
\(K'(k,n)=\begin{pmatrix}n+k-1\\k\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}n+k-1\\n-1\end{pmatrix}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\)
Komentáře
Ekaterina 02. 06. 2022 • 10:05
Dobrý den, pokud je to možné, ráda bych položila jednu otázku. Je třeba rozdělit 14 jablek mezi 3 kluky (je možné, aby jeden nebo dva z nich nedostal žádné jablko), a vím, že můžu použit vzorec \(\frac{(14+(3-1))!}{14!(3-1)!}\), ale jěště přemyšlím nad tím, že můžu umístit první přepážku na libovolné z 15 míst mezi jablky, a také druhou na libovolné z 15 míst, pak to vydělit dvěma, protože dát první přepážku před třetím jablkem a druhou před osmým je to samé, když dám druhou přepážku před třetím jablkem a první před osmým, tedy \({15*15\over 2}\). Mohl byste prosím říct, v čem je chyba?
Dominik Chládek 07. 06. 2022 • 22:18
Dobrý den, to mám hroznou radost, moc Vám děkuji za krásnou motivační zprávu, moc mě těší že Vám můžu pomáhat a že to funguje a líbí se Vám to :) moc přeji ať se daří ve studiu co nejlépe, hodně štěstí a děkuji že se koukáte! :)
Ekaterina 07. 06. 2022 • 10:47
Dobrý den, už to asi chapu, děkuji moc! Chci Vám také upřímně poděkovat za Vaše videa, už mám hodně Vašich kurzu za sebou, a jsou opravdu moc dobré! Vaše videa mi prostě nekutečně pomáhají. Jsem v prvním ročníku, a už jste mi několikrát zachránil život :D Velice se mi líbí to, že ukazujte, odkud se berou vzorce, se kterými pracujeme (třeba v analýze) a vůbec Váš lidský přístup :) Vždy velmi jasně vysvětlujete, a doufám, že budete točit dál! Pořád Vaše videa doporučuji svým kamarádům, jste pro mě hrdina :D Přeji Vám hodně štěsti!
Dominik Chládek 05. 06. 2022 • 21:41
To sice ano, ale vy říkáte že mezi každými oooooo máte dvě volná místa, ale ne jedno? Protože jak můžete někde zvolit dvě přepážky a přitom nemít místo? Není mi jasné kde brete 15*15 :)
Ekaterina 04. 06. 2022 • 19:32
Dobrý den, tak to by asi mělo znamenat, že prostřední kluk nedostane žádné jablko, ne? Třeba ooo||oooooooo bude znamenat, že první kluk dostal 3 jablka, druhý nedostal žádné, třetí dostal 11. Nebo ||oooooooooooooo bude znamenat, že první a druhý nedostali nic, a třetí dostal všechno.
Ekaterina 03. 06. 2022 • 10:32
Dobrý den, tak to by asi mělo znamenat, že prostřední kluk nedostane žádné jablko, ne? Třeba ooo||oooooooo bude znamenat, že první kluk dostal 3 jablka, druhý nedostal žádné, třetí dostal 11. Nebo ||oooooooooooooo bude znamenat, že první a druhý nedostali nic, a třetí dostal všechno.
Dominik Chládek 02. 06. 2022 • 23:23
Dobrý den, a jak byste popsal situaci, kdy vyberete na obě přepážky stejné místo? To tam pak najednou budou dvě místa? Nebo se přepážka sjednotí v jednu? :)