Vlastnosti kombinačních čísel a rovnice

Poznámka k videu

Nyní si zmíníme pár vlastností kombinačních čísel. První vlastnost lehce ověříme rozepsáním podle definice. Platí totiž:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}\)

což ověříme lehce rozepsáním definice kombinačního čísla:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)

\(\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!}\) \(=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot (n-n+k)!}\) \(=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\)

Další vlastnosti jsou co se týče výpočtu. Platí totiž:

\(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1\)

\(\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}=n\)

což znovu můžeme ověřit rozepsání podle definice velmi snadno, proto to sem nebudu rozepisovat :) Tyto výpočty se hodí zejména ve chvílích, kdy počítáme v kombinatorice a nebo pravděpodobnosti nějaké mezi výpočty a nechceme stále rozepisovat dané definice.

Poslední vlastnost kterou si zmíníme je, jak spojit součet kombinačních čísel v jedno kombinační číslo:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}\)

o čemž se můžeme znovu jako i v předchozích případech lehce přesvědčit rozepsáním podle definice kombinačního čísla a poté sečtením takto nově vzniklých výrazů:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}\) \(=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}+\dfrac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (k+1)+n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (k+1+n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}\) 

Pokud se nám kombinační čísla objeví v rovnici, tak je nejlepší cestou rozepsání těchto kombinačních čísel podle definice a tím převedeme tuto novou situaci na rovnice s faktoriály, o kterých jsme hovořili v minulém videu - tedy na situaci kterou už známe. Ovšem je důležité zmínit, že jeden rozdíl tu je - do podmínek musíme přidat, že v každém kombinačním čísle musí být horní číslo větší nebo rovno tomu dolnímu, tedy máme ještě jednu podmínku k vyřešení navíc.