Vlastnosti kombinačních čísel a rovnice


Řešené příklady

Jedno kombinační číslo

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 3 min

Zapište jedním kombinačním číslem výraz:

\(\begin{pmatrix}15\\14\end{pmatrix}+3\)


Kombinační číslo a rovnice

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 6 min

Vyřešte následující rovnici s kombinačními čísly:

\(\begin{pmatrix}x\\x-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x+1\\x\end{pmatrix}=4\)


Součet výrazů

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 2 min

Zapište jedním kombinačním číslem výraz:

\(1+\begin{pmatrix}21\\20\end{pmatrix}\)


Všechny příklady (4)

Testy splněno na -%

Vlastnosti kombinačních čísel a rovnice s nimi

splněno - %

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 7 min

  • Definice -%
  • Podmínky -%
  • Výraz -%
  • Výraz -%
  • Výraz -%
  • Výraz -%


Klíčová slova

Kombinatorika | Kombinace | Kombinační číslo | Faktoriál | Rovnice | Výraz

Podrobnosti o látce

Výpisky ke stažení

Celkové hodnocení (13 hodnotící)

100%

Tvé hodnocení (nehodnoceno)

Pro hodnocení musíte být přihlášen(a)


Autor videa
avatar
Dominik Chládek


Obtížnost: SŠ


Popis videa

Nyní si zmíníme pár vlastností kombinačních čísel. První vlastnost lehce ověříme rozepsáním podle definice. Platí totiž:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}\)

což ověříme lehce rozepsáním definice kombinačního čísla:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)

\(\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!}\) \(=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot (n-n+k)!}\) \(=\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\)

Další vlastnosti jsou co se týče výpočtu. Platí totiž:

\(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1\)

\(\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}=n\)

což znovu můžeme ověřit rozepsání podle definice velmi snadno, proto to sem nebudu rozepisovat :) Tyto výpočty se hodí zejména ve chvílích, kdy počítáme v kombinatorice a nebo pravděpodobnosti nějaké mezi výpočty a nechceme stále rozepisovat dané definice.

Poslední vlastnost kterou si zmíníme je, jak spojit součet kombinačních čísel v jedno kombinační číslo:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}\)

o čemž se můžeme znovu jako i v předchozích případech lehce přesvědčit rozepsáním podle definice kombinačního čísla a poté sečtením takto nově vzniklých výrazů:

\(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}\) \(=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}+\dfrac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (k+1)+n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (k+1+n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{n! \cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}\) \(=\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}\) 

Pokud se nám kombinační čísla objeví v rovnici, tak je nejlepší cestou rozepsání těchto kombinačních čísel podle definice a tím převedeme tuto novou situaci na rovnice s faktoriály, o kterých jsme hovořili v minulém videu - tedy na situaci kterou už známe. Ovšem je důležité zmínit, že jeden rozdíl tu je - do podmínek musíme přidat, že v každém kombinačním čísle musí být horní číslo větší nebo rovno tomu dolnímu, tedy máme ještě jednu podmínku k vyřešení navíc.


Komentáře

Jan Kubica

Jan Kubica
22. 04. 2021 - 11:28

Dobrý den, jen drobná nepřesnost ve výkladu. Mám dojem, že kombinační číslo kde k>n můžeme definovat jako n nad k = 0. Protože existuje 0 způsobů, kolik takových skupin po k členech můžeme vytvořit. Ale je to čistě definice a spíše souvisí s kombinacemi, než s kombinačním číslem jako takovým (početně to nejde). Pokud bychom zapomněli na vzoreček a intuitivně bychom vybírali prvky z množiny obsahující n prvků a počítali kombinační číslo jako počet prvků, které mohu vybrat na první pozici v k-členné skupině, k nim pak na druhou pozici, třetí atd. ( pravidlo kombinatorického součinu), tak by nám nakonec došly veškeré prvky v dané množině a na několi pozic v k-členné skupině bychom mohli vybrat přesně nula prvků z dané množiny. Jelikož nula krát cokoliv je nula, tak nás ani nezajímají permutace stejných k-tic, kterými dělíme, abychom získali počet kombinací a říkáme, že n nad k jakožto počet kombinací je roven nule.


upraveno: 22. 04. 2021 - 11:28


Dominik Chládek

Dominik Chládek
23. 04. 2021 - 10:07

Dobrý den, to určitě je možnost, ale řešit v tomto videu na této úrovni (pro středoškoláky) i tyto extrémní případy by bylo z mého pohledu kontraproduktivní, protože by to pak pro někoho mohlo být nepřehledné. To co říkáte bude zmíněno v kurzu na vysokoškolskou kombinatoriku, pravděpodobnost a statistiku :)


avatar

Petr Koller
15. 08. 2020 - 13:58

Ještě 1 drobnost, jedná se o malý překlep v testu. Konkrétně u 2. otázky  je překlepem slovo jakám 



Dominik Chládek

Dominik Chládek
15. 08. 2020 - 19:36

Opraveno, moc díky! :)


avatar

Petr Koller
15. 08. 2020 - 13:51

Zdravím, asi po půl hodině bádání nad tím, kde jsem udělal chybu, jsem došel k závěru, že se zadání liší od příkladu ve videu :D

Konkrétně mluvím o posledním video řešeném příkladě, kde v zadání máte na levé straně rovnice mezi dvěma kombinačními čísly znaménko - (mínus), ale ve videu je znaménko +(plus)



Dominik Chládek

Dominik Chládek
15. 08. 2020 - 19:37

Znovu, moc děkuji, opraveno! :)


avatar

Jaroslav Máchal
06. 05. 2020 - 10:55

Dobrý den, chtěl bych se zeptat na řešení tohoto příkladu. Možná to bude jednoduché, ale nějak jsem se v tom asi zamotal.
Předem děkuji za odpověď
Jaroslav Máchal

foto


upraveno: 06. 05. 2020 - 10:55


Dominik Chládek

Dominik Chládek
08. 05. 2020 - 22:05

Tak paráda! :)



avatar

Jaroslav Máchal
08. 05. 2020 - 20:35

Děkuji za odpověď, ale příklad jsem zdárně vyřešil :D


upraveno: 08. 05. 2020 - 20:35


Dominik Chládek

Dominik Chládek
06. 05. 2020 - 23:30

Dobrý den, dejte to do "Příklady od Vás", moc díky :)


avatar

Pavel Diviš
23. 04. 2019 - 22:37

Dobrý den, mohl by mi někdo poradit s následujícím příkladem?

 

 

foto



Dominik Chládek

Dominik Chládek
23. 04. 2019 - 23:13

Dobrý večer, takto:

\(4\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}n\\n-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\3\end{pmatrix}=0\\4\frac{n!}{2!(n-2)!}-4\frac{n!}{(n-3)!3!}+\frac{n!}{3!(n-3)!}=0\\4\frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}-4\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!}=0\\4\frac{n(n-1)}2-4\frac{n(n-1)(n-2)}6+\frac{n(n-1)(n-2)}6=0\\12n(n-1)-4n(n-1)(n-2)+n(n-1)(n-2)=0\\n(n-1)\left[12-4(n-2)+(n-2)\right]=0\\n(n-1)(12-4n+8+n-2)=0\\n(n-1)(18-3n)=0\\n=0,n=1,n=6\)

a z podmínek \(n\geq 3\) máme jen \(n=6\) :)


upraveno: 23. 04. 2019 - 23:13

Přihlásit se pro komentář