Motivace a odvození Binomecké věty


Řešené příklady

Zatím nejsou řešené příklady ...

Testy splněno na -%

Motivace a odvození Binomické věty

splněno - %

Obtížnost: SŠ | Délka řešení: 3 min

  • Výraz -%
  • Výraz -%


Klíčová slova

Kombinatorika | Binomická věta | Kombinace | Kombinační číslo | Suma | Výraz

Podrobnosti o látce

Celkové hodnocení (15 hodnotící)

100%

Tvé hodnocení (nehodnoceno)

Pro hodnocení musíte být přihlášen(a)


Autor videa
avatar
Dominik Chládek


Obtížnost: SŠ


Popis videa

Binomická věta nám slouží k rozepsání vyšší mocniny dvojčlenu. Tedy chceme určit předpis, který by se rovnal mocnině \((a+b)^n\). Abychom si takový výraz (vzorec) mohli odvodit, tak nejprve rozepíšeme druhou a třetí mocninu daného dvojčlenu.

\((a+b)^2=(a+b)(a+b)\) \(=aa+ab+ba+bb\) \(=a^2+2ab+b^2\)

\((a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)\) \(=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb\) \(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

To nás vede k tomu, abychom obecně odhadli, jak by taková \(n\)-tá mocnina vypadala.

Takhle bychom pokračovali stále, až bychom dospěli k výrazu:

\((a+b)^n=\) \(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}a^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}a^{n-2}b^2+\dots\) \(+\begin{pmatrix}n\\n-2\end{pmatrix}a^2b^{n-2}+\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}ab^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}b^n\)

což můžeme pomocí sumy rozepsat jako:

\(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}\)


Komentáře

avatar

Michael Hajný
02. 02. 2021 - 18:08

Tohle bylo úžasné odvození Binomické věty !!!



Dominik Chládek

Dominik Chládek
03. 02. 2021 - 14:12

To jsem moc rád že se Vám to líbí, děkuji Vám zap ochvalu! :)


avatar

Jerguš Krč
05. 03. 2020 - 19:49

Veľmi, veľmi dobre ukázané! Ďakujem!



Dominik Chládek

Dominik Chládek
05. 03. 2020 - 20:54

Moc dekuji, jsem rad ze se libilo! :)


Přihlásit se pro komentář