Motivace a odvození Binomecké věty

Poznámka k videu

Binomická věta nám slouží k rozepsání vyšší mocniny dvojčlenu. Tedy chceme určit předpis, který by se rovnal mocnině \((a+b)^n\). Abychom si takový výraz (vzorec) mohli odvodit, tak nejprve rozepíšeme druhou a třetí mocninu daného dvojčlenu.

\((a+b)^2=(a+b)(a+b)\) \(=aa+ab+ba+bb\) \(=a^2+2ab+b^2\)

\((a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)\) \(=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb\) \(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

To nás vede k tomu, abychom obecně odhadli, jak by taková \(n\)-tá mocnina vypadala.

• Všimněme si, že nejprve máme možnosti, jak uspořádat jenom \(a\) - tedy \(b\) nikam neumístíme, tedy takových možností je \(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\).
• Potom máme možnosti, jak ospořádat jedno \(b\) a poté zbývající \(a\) - tedy \(b\) umístíme na jedno z míst, tedy takových možností je \(\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}\). 
• Potom máme možnosti, jak ospořádat dvě \(b\) a poté zbývající \(a\) - tedy \(b\) umístíme na dvě z míst, tedy takových možností je \(\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}\). 
• ...

Takhle bychom pokračovali stále, až bychom dospěli k výrazu:

\((a+b)^n=\) \(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}a^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}a^{n-2}b^2+\dots\) \(+\begin{pmatrix}n\\n-2\end{pmatrix}a^2b^{n-2}+\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}ab^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}b^n\)

což můžeme pomocí sumy rozepsat jako:

\(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}\)