Binomická věta a Pascalův trojúhelník

Poznámka k videu

Přesné znění Binomické věty jsme si odvodili v minulém videu, takže její přesné rozepsání už známe. Proto přejde rovnou k Pascalově trojúhelníku. Pascalův trojúhelník je v podstatě konkrétní rozepsání koeficientů u jednotlivých členů v binomické větě. Na začátku vypadá trojúhelník pomocí kombinačních čísel takto:

\(\begin{matrix} n=0&\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\ n=1&\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\ n=2&\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\ n=3&\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\\ n=4&\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\\ n=5&\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\\ &\dots\end{matrix}\)

kde jako první je nultá mocnina s jedním členem, pak první mocnina se dvěma, pak druhá mocnina se třemi a podobně. Víme, že jde o dané násobky těch členů - přímo definice pomocí sumy tomu napovídá. Když ovšem tato kombinační čísla vyhodnotíme, tak vypadá Pascalův trojúhelník takto:

\(\begin{matrix} n=0&1\\ n=1&1\;\;\;\;1\\ n=2&1\;\;\;\;2\;\;\;\;1\\ n=3&1\;\;\;\;3\;\;\;\;3\;\;\;\;1\\ n=4&1\;\;\;\;4\;\;\;\;6\;\;\;\;4\;\;\;\;1\\ n=5&1\;\;\;\;5\;\;\;\;10\;\;\;\;10\;\;\;\;5\;\;\;\;1\\ &\dots\end{matrix}\)

a to se velmi dobře pamatuje, jelikož si stačí všimnou, že čísla v libovolné řadě vždy vzniknout tak, že sečteme dvě čísla vedle sebe v řadě o jedno vyšší a výsledek zapíšeme pod ně přesně do středu.