Přirozená čísla a zákony o operacích

Poznámka k videu

Přirozená čísla jsou základním číselným oborem, který je nedílnou součástí ostatních číselných oborů o kterých budeme mluvit za chvíli. Označujeme je symbolem \(\mathbb{N}\) a slouží k popisu počtu věcí (celků) jako například počet domů, zbraní, zásob a podobně, proto přívlastek "přirozená". S přirozenými čísly samozřejmě, stejně jako se všemi ostatními čísly, provádíme různé operace. Nás většinou význačně zajímají operace sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Pro operaci sčítání a operaci násobení platí například komutativní zákon, který v překladu znamená, že může při součtu nebo součinu dvou čísel můžeme zaměnit jejich pořadí. Jinými slovy \(2 + 3 = 3 + 2\) pro součet a \(2 \cdot 3 = 3 \cdot 2\) pro součin, obecně zapsáno jako:

\(a+b=b+a\)
\(a \cdot b = b \cdot a\)

Podobně pro obě operace platí asociativní zákon, který v překladu znamená, že při sčítání tří a více čísel je jedno, jaké pořadí ve sčítání zvolíme, podobně je tomu tak i pro součin. Jinými slovy \(2+(3+4)=(2+3)+4\) pro součet a \(2\cdot (3 \cdot 4)=(2 \cdot 3)\cdot 4\) pro součin, obecně tedy:

\(a+(b+c)=(a+b)+c\)
\(a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c\)

Do souvislosti dává obě operace distributivní zákon, což je v podstatě zákon o roznásobování, který hovoří o tom, jak spolu operace násobení a sčítání spolupracují a je to přesně tak, jak bychom čekali a jak se sami můžete přesvědčit na konkrétních příkladech:

\(a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c\)

Přirozená čísla jsou uzavřená vůči sčítání a násobení, což znamená, že sečtením nebo vynásobením dvou přirozených čísel znovu obdržíme přirozené číslo. To neplatí pro operace rozdílu (odčítání) a podílu (dělení), tam už dostáváme v některých situacích výsledky, které přirozenými čísly nejsou.

To ovšem neznamená, že se v některých situacích ve výsledku přirozená čísla neobjeví. Máme například \(8-2=6\) nebo \(8:2=4\) a to přirozená čísla jsou, ovšem \(2-8=-6\) nebo \(2:8=0,25\) a to přirozená čísla nejsou. Uzavřenost tedy znamená, že pro součet a součin vždy jako výslednou hodnotu operace obdržíme přirozené číslo, pro odčítání a dělení to ovšem ve všech případech neplatí.

Důležitá poznámka: Na tomto webu ve všech videích a materiálech které tvořím automaticky předpokládám, že nula není přirozeným číslem. To, jestli je nula brána jako přirozené číslo nebo není a která varianta je výhodnější vždy záleží na autorovi. Ovšem obecně a s nadsázkou řečeno platí, že kdo studoval matematiku v Brně má přirozená čísla bez nuly a kdo v Praze, tak s nulou - a já patřím do první kategorie :)