Trojúhelník - obsah, obvod a další

Poznámka k videu

Další velmi častým rovinným útvarem, se kterým se budeme setkávat, je trojúhelník. Trojúhelníku je celá řada, jako například pravoúhlý trojúhelník, tupoúhlý trojúhelník, ostroúhlý trojúhelník, obecný trojúhelník, rovnoramenný trojúhelník a rovnostranný trojúhelník. Nejprve se však zaměříme na obecný trojúhelník.

Co se týče obvodu, tak ten je přímočarý. Pro trojúhelník o stranách \(a\), \(b\) a \(c\) máme obvod trojúhelníku jako:

\(o=a+b+c\)

Pro výpočet obsahu se musíme vždy zaměřit na výšku k jedné ze stran trojphelníku, tedy kolmici na stranu jdoucí do protějšího vrcholu k této straně. V případě součinu strany a výšky k této straně dostáváme obsah obdélníku, který obsahuje dva původní trojúhelníky. Platí tedy, že obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu z tohoto součinu, tedy:

\(S= \dfrac{a \cdot v_a }{2}= \dfrac{b \cdot v_b }{2}= \dfrac{c \cdot v_c }{2}\)

Další možností, jak vypočítat obsah libovolného trojúhělníku, pokud známe délky všech stran trojúhelníku je Heronův vzorec, který zní takto:

\(S= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), kde \(s=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Samozřejmostí také je, že součtem všech vnitřních úhlů trojúhelníku je:

\(\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ\)

Pokud se nyní zaměříme na konkrétní typy trojúhelníku, tak získáme výhodnější výpočty. Například v případě pravoúhlého trojúhelníku na sebe odvěsny vždy kolmé (svírají onen pravý úhel), tedy jsou sami sobě navzájem výškami. Díky tomu máme pro pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \(a\) a \(b\) vzorec výpočet obsahu jako:

\(S=\dfrac{ab}{2}\)

Pro rovnostranný trojúhelník (má všechny tři strany stejně dlouhé a všechny tři vnitřní úhly stejně velké) z pythagorovy věty plyne pro výšku výraz:

\(v=\dfrac{a \cdot \sqrt 3}{2}\)

a tedy pro obsah výpočet:

\(S=\dfrac{a\cdot v}{2} =\dfrac{a\cdot \frac{a \cdot \sqrt 3}{2}}{2} =\dfrac{a^2 \cdot \sqrt 3}{4}\)

což znamená, že v případě rovnostranného trojúhelníku nám pro výpočet obsahu stačí znát pouze délku strany.