Processing math: 100%

    Řešená cvičení

    Osmiúhelník a jeho obvod a obsah

    Střední škola • 6 min

    Nejkratší úhlopříčka osmiúhelníku má délku 16cm. Určete obvod a obsah tohoto osmiúhelníku.

    Testy

    -%

    Výpočty v pravidelném n-úhelníku

    Střední škola • 5 min

    -%

    Výpočty úhlu -%

    Obvod pravidelného n-úhelníku -%

    Obsah pravidelného n-úhelníku -%

    Součet vnitřních úhlů -%

    Podrobnosti o látce

    Výpisky ke stažení
    Poznámky Pravidelný n-úhelník - obsah a obvod
    Klíčová slova
    Rovinný útvar Obsah Obvod Pravidelný n-úhelník Obsah pravidelného n-úhelníku Obvod pravidelného n-úhelníku Pravý úhel Mnohoúhelník Sinus Kosinus Cosinus Tangens Úhel Poloměr Poloměr kružnice opsané Trojúhelník Rovnoramenný trojúhelník Obsah trojúhelníku
    Celkové hodnocení

    100%9 hodnotících

    Tvé hodnocení

    Pro hodnocení se musíte přihlásit

    Autor videa
    avatar

    Dominik Chládek
    Autor matematiky na isibalu :)

    Klíčová slova

    Střední škola

    Odhadovaná délka studia

    0 h 24 min

    Poznámka k videu

    Pojem pravidelný n-úhelník vychází z pojmu mnohoúhelník. Pravidelný n-úhelník je mnohoúhelník složený z n stejně dlouhých stran a n stejně velkých vnitřních úhlů. Speciální případem je pro n=3 pravidelný trojúhelník, tedy rovnostranný trojúhelník a pro n=4 pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec.

    Začneme výpočtem obvodu. Pro obvod potřebujeme znát délku strany a pravidelného n-úhelníku. A jelikož jsou všechny strany stejně dlouhé, tak vzorec pro obvod pravidelného n-úhelníku je:

    o=na

    Je důležité uvědomit si, že každý pravidelný n-úhelník se skládá z n stejných rovnoramenných trojúhelníku, které mají společný vrchol ve středu kružnice opsané danému pravidelnému n-úhelníku. Díky tomu získáme celkem snadný vzorec pro výpočet úhlu φ, který je naproti základně každého trojúhelníku (tedy ten, který svírají ramena). Jelikož n těchto stejně velkých úhlů φ musí dohromady dávat 360 stupňů, tak máme výpočet:

    nφ=360φ=360n

    Nyní přejdeme k obsahu. Pro obsah pravidelného n-úhelníku nám stačí zjistit obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku a vynásobit číslem n. Pro obsah trojúhelníku využijeme základnu a násobenou výškou v k této základně a máme vzorec:

    S=nav2

    Ovšem tuto výšku můžeme pomocí goniometrických funkcí, jak je ukázáno ve videu, vyjádřit pomocí strany a nebo poloměru r kružnice opsané a máme vzorce pro obsah pravidelného n-úhelníku jako:

    S=nav2=narcos(φ2)2=

     =na2cotg(φ2)4=na24tg(φ2) 

    Posledním zajímavým výpočtem je součet vnitřních úhlů a zde pouze využijeme faktu, že vezmeme součet všech vnitřních úhlů všech rovnoramenných trojúhelníku, ze kterých se pravidelný n-úhelník skládá a odečteme úhly φ, které jsou u středu kružnice opsané a tedy k vnitřním úhlům nepatří. Úhly, které chceme odečíst dávají dohromady 360 stupňů a máme tedy pro součet vnitřních úhlů pravidelného n-úhelníku výpočet:

    n180360=180(n2)

    což například pro n=3 dává 180, což je součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku.