Předpoklady Nesplněny
Využití goniometrických funkcíGoniometrie a trigonometrie
-%
Rovinné útvary a tělesa
-%
Planimetrie
-%
Pravidelný n-úhelník - obsah a obvod
Řešená cvičení
Osmiúhelník a jeho obvod a obsah
Střední škola • 6 min
Nejkratší úhlopříčka osmiúhelníku má délku 16cm. Určete obvod a obsah tohoto osmiúhelníku.
Testy
-%
Výpočty v pravidelném n-úhelníku
Střední škola • 5 min
-%
Výpočty úhlu -%
Obvod pravidelného n-úhelníku -%
Obsah pravidelného n-úhelníku -%
Součet vnitřních úhlů -%
Podrobnosti o látce
Výpisky ke stažení
Klíčová slova
Rovinný útvar Obsah Obvod Pravidelný n-úhelník Obsah pravidelného n-úhelníku Obvod pravidelného n-úhelníku Pravý úhel Mnohoúhelník Sinus Kosinus Cosinus Tangens Úhel Poloměr Poloměr kružnice opsané Trojúhelník Rovnoramenný trojúhelník Obsah trojúhelníkuAutor videa

Dominik Chládek
Autor matematiky na isibalu :)
Klíčová slova
Střední škola
Odhadovaná délka studia
0 h 24 min
Poznámka k videu
Pojem pravidelný n-úhelník vychází z pojmu mnohoúhelník. Pravidelný n-úhelník je mnohoúhelník složený z n stejně dlouhých stran a n stejně velkých vnitřních úhlů. Speciální případem je pro n=3 pravidelný trojúhelník, tedy rovnostranný trojúhelník a pro n=4 pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec.
Začneme výpočtem obvodu. Pro obvod potřebujeme znát délku strany a pravidelného n-úhelníku. A jelikož jsou všechny strany stejně dlouhé, tak vzorec pro obvod pravidelného n-úhelníku je:
o=n⋅a
Je důležité uvědomit si, že každý pravidelný n-úhelník se skládá z n stejných rovnoramenných trojúhelníku, které mají společný vrchol ve středu kružnice opsané danému pravidelnému n-úhelníku. Díky tomu získáme celkem snadný vzorec pro výpočet úhlu φ, který je naproti základně každého trojúhelníku (tedy ten, který svírají ramena). Jelikož n těchto stejně velkých úhlů φ musí dohromady dávat 360 stupňů, tak máme výpočet:
n⋅φ=360∘→φ=360∘n
Nyní přejdeme k obsahu. Pro obsah pravidelného n-úhelníku nám stačí zjistit obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku a vynásobit číslem n. Pro obsah trojúhelníku využijeme základnu a násobenou výškou v k této základně a máme vzorec:
S=n⋅a⋅v2
Ovšem tuto výšku můžeme pomocí goniometrických funkcí, jak je ukázáno ve videu, vyjádřit pomocí strany a nebo poloměru r kružnice opsané a máme vzorce pro obsah pravidelného n-úhelníku jako:
S=n⋅a⋅v2=n⋅a⋅r⋅cos(φ2)2=
=n⋅a2⋅cotg(φ2)4=n⋅a24⋅tg(φ2)
Posledním zajímavým výpočtem je součet vnitřních úhlů a zde pouze využijeme faktu, že vezmeme součet všech vnitřních úhlů všech rovnoramenných trojúhelníku, ze kterých se pravidelný n-úhelník skládá a odečteme úhly φ, které jsou u středu kružnice opsané a tedy k vnitřním úhlům nepatří. Úhly, které chceme odečíst dávají dohromady 360 stupňů a máme tedy pro součet vnitřních úhlů pravidelného n-úhelníku výpočet:
n⋅180∘−360∘=180∘(n−2)
což například pro n=3 dává 180∘, což je součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku.