Pravidelný n-úhelník - obsah a obvod

Poznámka k videu

Pojem pravidelný \(n\)-úhelník vychází z pojmu mnohoúhelník. Pravidelný \(n\)-úhelník je mnohoúhelník složený z \(n\) stejně dlouhých stran a \(n\) stejně velkých vnitřních úhlů. Speciální případem je pro \(n=3\) pravidelný trojúhelník, tedy rovnostranný trojúhelník a pro \(n=4\) pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec.

Začneme výpočtem obvodu. Pro obvod potřebujeme znát délku strany \(a\) pravidelného \(n\)-úhelníku. A jelikož jsou všechny strany stejně dlouhé, tak vzorec pro obvod pravidelného \(n\)-úhelníku je:

\(o=n\cdot a\)

Je důležité uvědomit si, že každý pravidelný \(n\)-úhelník se skládá z \(n\) stejných rovnoramenných trojúhelníku, které mají společný vrchol ve středu kružnice opsané danému pravidelnému \(n\)-úhelníku. Díky tomu získáme celkem snadný vzorec pro výpočet úhlu \(\varphi\), který je naproti základně každého trojúhelníku (tedy ten, který svírají ramena). Jelikož \(n\) těchto stejně velkých úhlů \(\varphi \) musí dohromady dávat \(360\) stupňů, tak máme výpočet:

\(n\cdot \varphi = 360^\circ \rightarrow \varphi =\dfrac{ 360^\circ}{n}\)

Nyní přejdeme k obsahu. Pro obsah pravidelného \(n\)-úhelníku nám stačí zjistit obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku a vynásobit číslem \(n\). Pro obsah trojúhelníku využijeme základnu \(a\) násobenou výškou \(v\) k této základně a máme vzorec:

\(S=n\cdot \dfrac{a\cdot v}{2}\)

Ovšem tuto výšku můžeme pomocí goniometrických funkcí, jak je ukázáno ve videu, vyjádřit pomocí strany \(a\) nebo poloměru \(r\) kružnice opsané a máme vzorce pro obsah pravidelného \(n\)-úhelníku jako:

\(S=n\cdot \dfrac{a\cdot v}{2}=n\cdot \dfrac{a\cdot r \cdot \cos\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}{2}=\)

 \(=n\cdot \dfrac{a^2 \cdot \mathrm{cotg}\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}{4}=n\cdot \dfrac{a^2}{4\cdot \mathrm{tg}\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}\) 

Posledním zajímavým výpočtem je součet vnitřních úhlů a zde pouze využijeme faktu, že vezmeme součet všech vnitřních úhlů všech rovnoramenných trojúhelníku, ze kterých se pravidelný \(n\)-úhelník skládá a odečteme úhly \(\varphi\), které jsou u středu kružnice opsané a tedy k vnitřním úhlům nepatří. Úhly, které chceme odečíst dávají dohromady \(360\) stupňů a máme tedy pro součet vnitřních úhlů pravidelného \(n\)-úhelníku výpočet:

\(n \cdot 180^\circ-360^\circ= 180^\circ(n-2)\)

což například pro \(n=3\) dává \(180^\circ\), což je součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku.