Pravidelný n-úhelník - obsah a obvod

Poznámka k videu

Pojem pravidelný $n$-úhelník vychází z pojmu mnohoúhelník. Pravidelný $n$-úhelník je mnohoúhelník složený z $n$ stejně dlouhých stran a $n$ stejně velkých vnitřních úhlů. Speciální případem je pro $n=3$ pravidelný trojúhelník, tedy rovnostranný trojúhelník a pro $n=4$ pravidelný čtyřúhelník, tedy čtverec.

Začneme výpočtem obvodu. Pro obvod potřebujeme znát délku strany $a$ pravidelného $n$-úhelníku. A jelikož jsou všechny strany stejně dlouhé, tak vzorec pro obvod pravidelného $n$-úhelníku je:

$o=n\cdot a$

Je důležité uvědomit si, že každý pravidelný $n$-úhelník se skládá z $n$ stejných rovnoramenných trojúhelníku, které mají společný vrchol ve středu kružnice opsané danému pravidelnému $n$-úhelníku. Díky tomu získáme celkem snadný vzorec pro výpočet úhlu $\varphi$, který je naproti základně každého trojúhelníku (tedy ten, který svírají ramena). Jelikož $n$ těchto stejně velkých úhlů $\varphi$ musí dohromady dávat $360$ stupňů, tak máme výpočet:

$n\cdot \varphi = 360^\circ \rightarrow \varphi =\dfrac{ 360^\circ}{n}$

Nyní přejdeme k obsahu. Pro obsah pravidelného $n$-úhelníku nám stačí zjistit obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku a vynásobit číslem $n$. Pro obsah trojúhelníku využijeme základnu $a$ násobenou výškou $v$ k této základně a máme vzorec:

$S=n\cdot \dfrac{a\cdot v}{2}$

Ovšem tuto výšku můžeme pomocí goniometrických funkcí, jak je ukázáno ve videu, vyjádřit pomocí strany $a$ nebo poloměru $r$ kružnice opsané a máme vzorce pro obsah pravidelného $n$-úhelníku jako:

$S=n\cdot \dfrac{a\cdot v}{2}=n\cdot \dfrac{a\cdot r \cdot \cos\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}{2}=$

 $=n\cdot \dfrac{a^2 \cdot \mathrm{cotg}\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}{4}=n\cdot \dfrac{a^2}{4\cdot \mathrm{tg}\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}$ 

Posledním zajímavým výpočtem je součet vnitřních úhlů a zde pouze využijeme faktu, že vezmeme součet všech vnitřních úhlů všech rovnoramenných trojúhelníku, ze kterých se pravidelný $n$-úhelník skládá a odečteme úhly $\varphi$, které jsou u středu kružnice opsané a tedy k vnitřním úhlům nepatří. Úhly, které chceme odečíst dávají dohromady $360$ stupňů a máme tedy pro součet vnitřních úhlů pravidelného $n$-úhelníku výpočet:

$n \cdot 180^\circ-360^\circ= 180^\circ(n-2)$

což například pro $n=3$ dává $180^\circ$, což je součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku.