Kruhová výseč, kruhová úseč a mezikruží

Poznámka k videu

Nyní si doplníme pár pojmů ke kruhu. Prvním je kruhová výseč. Tu si můžeme představit, jako kousek pizzy, tedy je to část kruhu, kterou vytvoříme tak, že provedeme dva řezy do středu kruhu o délce poloměru a tím se vytvoří daná výseč. Pokud označíme \(\varphi\) jako úhel, který svírají tyto řezy, pak si můžeme lehce odvodit vzorce pro délku oblouku této kruhové výseče a její obsah.

Délku oblouku kruhový výseče označíme jako \(l\) a je to část obvodu původního kruhu, která tvoří okraj kruhové výseče. Vypočítáme ji jednoduše tak, že určíme, jakou část celku tvoří úhel \(\varphi\), tedy vydělíme úhel \(\varphi\) \(360\) stupni, to nám dá výslednou část a tím vynásobíme původní obvod. Tedy délka kruhové výseče se vypočítá jako:

\(l=\dfrac{\varphi}{360^\circ}\cdot 2\pi r\)

a podobně je to i s obsahem kruhové výseče. Ten znovu vypočítáme jako poměrnou část obsahu původního kruhu, takže obsah kruhové výseče určíme pomocí vzorce:

\(S=\dfrac{\varphi}{360^\circ}\cdot \pi r^2\)

Kruhová úseč je část kruhu která vznikne tak, že protneme kruh sečnou a vznikne nám takový "klobouček". Pro kruhovou úseč počítáme většinou pouze obsah a určíme ho s využitím goniometrických funkcí ve dvou variantách. Obsah kruhové úseče pro úhel \(\varphi\) ve stupňové míře je:

\(S=r^2 \left(\dfrac{\varphi \pi}{360^\circ}-\dfrac{\sin\varphi }{2}\right) \)

a obsah kruhové úseče pro úhel \(\varphi\) v obloukové míře je:

\(S=\dfrac{r^2}{2} \left(\varphi-\sin\varphi\right) \)

Posledním pojmem je mezikruží, které vznikne jako oblast mezi dvěma kruhy, které mají stejný střed a různé poloměry. Znovu počítáme pouze obsah a určíme ho jako rozdíl obsahů většího a menšího kruhu. Obsah mezikruží o poloměrech \(r_1\) a \(r_2\), kde \(r_2>r_1\), vypočítáme jako:

\(S=\pi r_2^2-\pi r_1^2=\pi (r_2^2- r_1^2)\)

a pomocí průměrů ho můžeme vyjádřit jako:

\(S=\dfrac{\pi d_2^2}{4}-\dfrac{\pi d_1^2}{4}=\dfrac{\pi}{4} (d_2^2- d_1^2)\)

ale znovu stačí znát většinou jen jednu variantu (doporučuji tu s poloměrem) a to díky snadnému převodu mezi poloměrem a průměrem.