Sloupcové a řádkové elementární úpravy

Jak jsme si řekli v předchozím videu, tak při převodu na (redukovaný) stupňovitý tvar provádíme základní elementární úpravy - řádkové a nebo sloupcové. Zajímavé je, že každou z těchto úprav můžeme reprezentovat pomocí součinu původní matice nějakou jednoduchou maticí, která úpravu reprezentuje. V tomto článku bych rád nastínil, jak přesně něco takového vypadá.

Výchozí znalost je, že pokud vynásobíme libovolnou matici \(A\) s jednotkovou matící (o příslušných rozměrech), tak tím původní matici \(A\) nijak nezměníme.

Pro zjednodušení budu vše vysvětlovat na matici o rozměrech \(3 \times 3\), aby to bylo vše názornější, tedy napříkad:

\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)

ale myšlenky by se podobně přenášeli i pro matice jiný rozměrů.

Vynásobení řádku/sloupce číslem

Pokud chceme vynásobit například libovolný \(i\)-tý řádek nenulovým reálným číslem \(a\), tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zleva maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&1&&&&&\\&&\ddots&&&&\\&&&a&&&\\&&&&\ddots&&\\&&&&&1&\\&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro násobení prvního řádku naší původní matice \(A\) číslem \(3\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&6&9\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)

a pokud chceme vynásobit například libovolný \(i\)-tý sloupec nenulovým reálným číslem \(a\), tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zprava maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&1&&&&&\\&&\ddots&&&&\\&&&a&&&\\&&&&\ddots&&\\&&&&&1&\\&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro násobení druhého sloupce naší původní matice \(A\) číslem \(3\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&6&3\\2&9&4\\3&12&5\end{pmatrix}\)

Vyměnění dvou řádků/sloupců

Pokud chceme vyměnit například libovolný \(i\)-tý řádek s jiným libovolným \(j\)-tým řádkem, tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zleva maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&\ddots&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots&&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro výměnu prvního a druhého řádku naší původní matice \(A\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3&4\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}\)

a pokud chceme vyměnit například libovolný \(i\)​​​​​​​-tý sloupec s jiným libovolným \(j\)-tým sloupcem, tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zprava maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&\ddots&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots&&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro pro výměnu prvního a třetího sloupce naší původní matice \(A\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&2&1\\4&3&2\\5&4&3\end{pmatrix}\)

Přičtení řádku/sloupce

Pokud chceme přičíst například libovolný \(i\)​​​​​​​-tý řádek k jinému libovolnému \(j\)-tému řádku, tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zleva maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&\ddots&&&&&\\&&&1&&1&&\\&&&&\ddots&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro přičtení druhého řádku k prvnímu řádku naší původní matice \(A\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&5&7\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}\)

a pokud chceme přičíst například libovolný \(i\)​​​​​​​-tý sloupec k jinýému libovolnému \(j\)-tému sloupci, tak bychom to provedli násobením původní matice \(A\) zprava maticí:

\(\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&\ddots&&&&&\\&&&1&&1&&\\&&&&\ddots&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&1\end{pmatrix}\)

tedy například pro přičtení prvního sloupce ke třetímu sloupci naší původní matice \(A\) obdržíme součin:

\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&4\\2&3&6\\3&4&8\end{pmatrix}\)

Označit jako přečtené