Proč metoda pro inverzi funguje

V tomto článku bych se chtěl zamyslet nad tím, proč metoda pro výpočet inverzní matice funguje. V tomto článku navážu na jiný článek v tomto tématu (je v předpokladech), ve kterém jsem naznačil, že každá elementární řádková i sloupcová úprava se dá vyjádřit pomocí součinu matice - zleva pro řádkové matice a zprava pro sloupcové matice.

Omezíme se nyní pouze na řádkové úpravy. Pokud chceme najít inverzní matici k matici \(A\), tak nás v podstatě zajímá, co jsme dělali za řádkové úpravy s původní jednototkovou matici, abychom dostali matici \(A\) a každou jednotlivou úpravu chceme vrátit zpátky - abychom se dostali z matice \(A\) na jednotkovou. 

Tím pádem budeme rozkládat matici \(A\) zpátky na jednotkovou a tyto úpravy si budeme ukládat do jednotkové matice, a tím získáme inverzní matici zpátky. A z toho důvodu zapíšeme původní matici do bloku s jednotkovou maticí takto:

\(\begin{pmatrix}A\;\vert\; I\end{pmatrix}\)

a každou úpravu, kterou děláme pro "rozkódování" matice \(A\) na jednotkovou budeme díky tomu zároveň ukládat do jednotkové matice, a budeme tyto úpravy dělat pozpátku - tedy od konce, přesně jak potřebujeme pro to, abychom je vrátili. Tím pádem po obdržení jednotkové matice místo matice \(A\) na prvním místě blokové matice, obdržíme napravo místo jednotkové matice matici inverzní, tedy:

\(\begin{pmatrix}I\;\vert\; A^{-1}\end{pmatrix}\)

Označit jako přečtené