Mají všechny funkce derivaci v každém bodě?

V tomto videu si odpovíme na otázku, jestli má každá funkce derivaci v každém bodě. Odpovědí je, že ne každá funkce má derivaci v každém bodě. V tomto videu si ukážeme, že ani pojem spojitosti ("nepřerušení funkce skokem") nestačí k tomu, aby funkce derivaci měla. Například, jak si ukážeme, funkce \(f(x)=|x|\) nemá derivaci v bodě \(x_0=0\) i přesto, že je korektně definovaná pro libovolné reálné číslo. Podobně funkce \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) má v bodě \(x_0=0\) derivaci rovnu nekonečnu (tedy nevlastní) i přesto, že je definovaná pro libovolná reálná čísla. Derivace pro nás tedy není úplně samozřejmost a pro "hezké" funkce ze se střední školy.

Komentáře

Jozef
29. 08. 2020 - 18:11

Splnuje funkcia |x| definiciu o spojitosti funkcie, ktora bola uvedena vo videu ? Lebo mam pocit, ze nie, kedze nam limita v bode 0 vyjde, ze neexistuje a tym padom sa nerovna funkcnej hodnote v tomto bode, coz je 0 a z toho mi plynie, ze funkcia |x| nie je spojita. Mohli by ste mi povedat, kde je v tejto uvahe chyba? 

Jozef
30. 08. 2020 - 11:23

Aha. Dakujem za vysvetlenie.

 

Dominik Chládek
29. 08. 2020 - 22:50

Dobrý den,

proč myslíte, že limita v bodě nula neexistuje? :) když ji zkusíme vypočítat, tak máme:

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} |x|=|0|=0\)

a to je to stejné, jako funkční hodnota, tedy tato funkce je spojitá v nule. Asi si to pletete s tím, že tato funkce nemá derivaci v bodě nula :)

dominikklon
13. 01. 2020 - 19:48

V testech je, že derivace funkce 3. odmocnina z x v bode 0 neexistuje. Ale nekonečno je snad existující hodnota ne? :d

Dominik Chládek
16. 01. 2020 - 12:47

Dobrý den, opraveno na "vlastní", moc děkuji za poupravení :)

Dominik Chládek
03. 05. 2016 - 17:49

Jsem rád že pobavilo :D

DoctorSLiME
02. 05. 2016 - 18:56

"Derivace pro nás není samozrejmost" :D Skoro som sa rozplakal :D :D :D :D :D :D

Přihlásit se pro komentář