Transformace do polárních souřadnic: řešené příklady

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 6 min

Následující dvojný integrál vypočítejte pomocí transformac do polárních souřadnic:

\(\displaystyle \iint\limits_I\sqrt{x^2+y^2}dxdy\)

\(I:x^2+y^2 \leq 9, y \leq 0\)

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 7 min

Následující dvojný integrál na oblasti \(I\) vypočítejte pomocí transformace do polárních souřadnic:

\(\displaystyle \iint\limits_I(x^3+xy^2)dxdy\)

\(I:1\leq x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0\)

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 14 min

Vypočítejte následující dvojný integrál pomocí transformace do polárních souřadnic:

\(\displaystyle \iint\limits_I xy^2dxdy\)

a) \(I:2y \leq x^2+y^2\leq 4y\)

b) \(I:2y \leq x^2+y^2\leq 4y, x\geq 0\)

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 7 min

Vypočítejte následující dvojný integrál pomocí transformace do polárních souřadnic:

\(\displaystyle \iint\limits_I \sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) dxdy\)

\(I:\pi ^2 \leq x^2+y^2\leq 4\pi ^2\)

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 9 min

Vypočítejte následující dvojný integrál pomocí transformace do polárních souřadnic:

\(\displaystyle \iint\limits_I \mathrm{arctg}\left(\dfrac yx\right) dxdy\)

\(I:1 \leq x^2+y^2\leq 9\\ \;\;\;\;\;\dfrac{x}{\sqrt3} \leq y \leq \sqrt3 x\)

Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 10 min

Vypočítejte následující dvojný integrál na oblasti \(I\), kde:

\(\displaystyle \iint\limits_I\ln(1+x^2+y^2)dxdy\)

\(\begin{array}{ll}I:&x^2+y^2 \leq a^2,\; a >0\\&x \leq 0\end{array}\)