V tomto článku si dokážeme děrivační vzorce, které se používají pro základní derivace. Budeme vycházet z definice derivace podle limity, tedy stěžejní jsou následující definice:
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
které nám důkazům dopomohou. V důkazech některých vzorců si ukážeme oba zpsůsoby, tedy využití obou definičních limit.
\((c)'=0, c \in \mathbb{R}\)
\(\left(c\right)'=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{c-c}h=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{0}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim} 0=0\)
\((c)'=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\)
\(=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{0}{x-x_0}=\)
\(=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}0=0\)
\((x^{n})'=n\cdot x^{n-1}\)
\(\left(x_0^n\right)'=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{(x_0+h)^n-x_0^n}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{x_0^n+n\cdot x_0^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x_0\cdot h^{n-1}+h^n-x_0^n}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{n\cdot x_0^{n-1}\cdot h+...+n \cdot x_0\cdot h^{n-1}+h^n}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{h\left(n\cdot x_0^{n-1}+...+n\cdot x_0\cdot h^{n-2}+h^{n-1}\right)}h=\)
\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\left(n \cdot x_0^{n-1}+...+n \cdot x_0 \cdot h^{n-2}+h^{n-1}\right)=\)
\(=n\cdot x_0^{n-1}+0+...+0+0=n\cdot x_0^{n-1}\)
\(\left(x_0^n\right)'=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\)
\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{x^n-x^n_0}{x-x_0}=\)
\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{(x-x_0)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}\cdot x_0+...+x\cdot x_0^{n_0-2}+x^{n_0-1})}{x-x_0}=\)
\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}{(x^{n-1}+x^{n-2}\cdot x_0+...+x\cdot x_0^{n_0-2}+x^{n_0-1})}=\)
\(=x_0^{n-1}+x_0^{n-2}\cdot x_0+...+x_0\cdot x_0^{n_0-2}+x^{n_0-1}=\)
\(=x_0^{n-1}+x_0^{n-1}\;+...+\;x_0^{n_0-1}+x_0^{n_0-1}=\)
\(=n \cdot x_0^{n-1}\)
To byl tedy příklad využítí limit při důkazu derivačních vzorců. Další příklady naleznete v PDF připojeném k tomuto videu (odkaz na něj je níže).
Jan Kubica
01. 09. 2020 - 12:58
Dobrý den, měl bych dotaz k jednomu z Vašich důkazů pro vzorečky na derivace, konkrétně důkaz č. 4 (Neumím Latex, takže se prosím podívejte do PDF):
Na konci jste se dostal k limitě, která po poslání h do 0 má vyjít 0/0, tedy nedefinovaný výraz, ale vy jste ji vypočítal jako 1. Když jsem se k tomuto, výsledku snažil nějak dokopat, tak jsem musel použít u té druhé limity L'Hospitalovo pravidlo, ale to znamená, že jsem derivoval podle vzorečku, který chci dokázat. Můžu tohle udělat, nebo jste tam provedl jinačí úpravu, která mi uniká? Zároveň když jsem se snažil sám dokázat ostatní vzorečky, tak jsem měl jstejný problém. Pokud bych použil L'Hospitala (za předpokladu, že to je korektní krok, jakože si myslím, že není), tak jsem to dokázal. Zde se ale zase dostávám do problému v rovině důkazu, protože netuším, jak mám dokázat L'Hospitala. Doufám, že to dává smysl :)
upraveno: 01. 09. 2020 - 12:58
Dominik Chládek
01. 09. 2020 - 18:48
Dobrý den,
L'Hospitalovo pravidlo byste použít neměl, problém je přesně ten, který popisujete :) ve skutečnosti je toto "vzorečková" limita, podobně jako například limita pro \(\dfrac{\sin x}{x}\) která pro \(x\) jdoucí k nule vyjde \(1\). Tento typ "vzoečkových" limit má své vlastní způsoby, jak je dokázat, například geometricky a podobně. Takže tam nejde o derivaci, ale o úvahu pro výpočet dané limity v daném tvaru. Určitě půjde dohledat, jak takovou limitu vypočítat, aniž byste použil L'Hospitala, ale bude to trochu delší úvaha :)
Dominik