Důkazy derivačních vzorců

V tomto článku si dokážeme děrivační vzorce, které se používají pro základní derivace. Budeme vycházet z definice derivace podle limity, tedy stěžejní jsou následující definice: 

\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

které nám důkazům dopomohou. V důkazech některých vzorců si ukážeme oba zpsůsoby, tedy využití obou definičních limit.

\((c)'=0, c \in \mathbb{R}\)

\(\left(c\right)'=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{c-c}h=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{0}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim} 0=0\)

\((c)'=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\)

\(=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{0}{x-x_0}=\)

\(=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}0=0\)

\((x^{n})'=n\cdot x^{n-1}\)

\(\left(x_0^n\right)'=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{(x_0+h)^n-x_0^n}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{x_0^n+n\cdot x_0^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x_0\cdot h^{n-1}+h^n-x_0^n}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{n\cdot x_0^{n-1}\cdot h+...+n \cdot x_0\cdot h^{n-1}+h^n}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\dfrac{h\left(n\cdot x_0^{n-1}+...+n\cdot x_0\cdot h^{n-2}+h^{n-1}\right)}h=\)

\(=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\left(n \cdot x_0^{n-1}+...+n \cdot x_0 \cdot h^{n-2}+h^{n-1}\right)=\)

\(=n\cdot x_0^{n-1}+0+...+0+0=n\cdot x_0^{n-1}\)

\(\left(x_0^n\right)'=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\)

\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{x^n-x^n_0}{x-x_0}=\)

\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\dfrac{(x-x_0)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}\cdot x_0+...+x\cdot x_0^{n_0-2}+x_0^{n_0-1})}{x-x_0}=\)

\(=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}{(x^{n-1}+x^{n-2}\cdot x_0+...+x\cdot x_0^{n_0-2}+x_0^{n_0-1})}=\)

\(=x_0^{n-1}+x_0^{n-2}\cdot x_0+...+x_0\cdot x_0^{n_0-2}+x_0^{n_0-1}=\)

\(=x_0^{n-1}+x_0^{n-1}\;+...+\;x_0^{n_0-1}+x_0^{n_0-1}=\)

\(=n \cdot x_0^{n-1}\)

To byl tedy příklad využítí limit při důkazu derivačních vzorců. Další příklady naleznete v PDF připojeném k tomuto videu (odkaz na něj je níže).

Označit jako přečtené