Unikátnost jednotkového a inverzního prvku

Co se týče definic v jednem z předchozích videí (pro jednotkový prvek a pro prvek inverzní), tak zajímavé je, že z nich plynou dvě zajímavá tvrzení, které si dokážeme:

Věta (o unikátnosti jednotkového prvku): Nechť \((G,\cdot)\) je grupoid. Pak má tento grupoid nejvýše jeden jednotkový prvek.

Důkaz: Je zřejmé, že pokud grupoid nemá jednotkový prvek, tak není co řešit (jelikož splňuje tvrzení, že je jednotkový prvek nejvýše jeden - není žádný). Proto se zaměříme na situaci, kdy grupoid jednotkový prvek má a budeme chtít ukázat, že je jenom jeden. Tedy přehled naší situace je:

Pokud chceme ukázat, že prvek s nějakou vlastností je jen jeden, tak budeme předpokládat dva a budeme chtít ukázat, že jsou stejné. Předpokládejme tedy, že by tento grupoid měl dva jednotkové prvky, označme je například \(e\) a \(e'\). Pak z definice jednotkového prvku plyne, že pro tyto prvky platí:

\(\begin{array}{c}\forall a \in G: e \cdot a = a = a \cdot e\\ \forall a \in G: e' \cdot a = a = a\cdot e'\end{array}\)

Tedy volbou v \(a=e'\) v prvním případě dostáváme \(e \cdot e' = e'\) a volbou \(a=e\) v druhém případě dostáváme \(e \cdot e' = e\). Z toho spojením dostáváme:

\(e=e \cdot e' = e'\)

Jinými slovy dostáváme, že se prvky sobě rovnají, tedy \(e=e'\) což znamená, že vždy budeme mít pouze jeden unikátní jednotkový prvek, nemůžeme mít dva různé. Q.E.D.

Věta (o unikátnosti inverzního prvku): Nechť \((G,\cdot)\) je pologrupa s jednotkovým prvkem \(e\) a \(a \in G\) je její libovolný prvek. Pak má tento tento prvek nejvýše jeden inverzní prvek.

Důkaz: Znovu jako v předchozí větě, je zřejmé, že pokud prvek \(a\) nemá inverzní prvek, tak není co řešit (jelikož splňuje tvrzení, že je inverzní prvek nejvýše jeden - není žádný). Proto se zaměříme na situaci, kdy prvek \(a\) inverzní prvek má a budeme chtít ukázat, že je jenom jeden. Tedy přehled naší situace je:

Stejně jako předtím, pokud chceme ukázat, že prvek s nějakou vlastností je jen jeden, tak budeme předpokládat dva a budeme chtít ukázat, že jsou stejné. Předpokládejme tedy, že by prvek \(a\) měl dva inverzní prvky, označme je například \(b\) a \(c\). Pak z definice inverzního prvku plyne, že pro tyto prvky platí:

\(\begin{array}{c}a \cdot b = e = b\cdot a\\ a \cdot c = e = c\cdot a\end{array}\)

S využitím asociativitiy operace a definice jednotkového prvku (všimněte si, že jsou všechny předpoklady potřeba, žádný není zbytečný) dostaneme:

\(b=b \cdot e= b \cdot (a \cdot c)=\) \((b\cdot a) \cdot c = e \cdot c = c\)

Což znovu znamená, že jsou tyto prvky stejné, tedy \(b=c\), takže pokud prvek \(a\) má inverzi, pak je tato inverze unikátní. Q.E.D.

Pokud si to tedy shrneme, tak když budeme mít množinu prvků a na ní korektně definovanou operaci, tak při hledání vlastností dané struktury využíváme i toho, že jednotkový prvek musí být jen jeden unikátní, stejně jako inverzní.

Označit jako přečtené