Tvrzení o podgrupoidech a podgrupách

Jak bylo zmíněno ve videu, tak neprázdný průnik podgrup nějaké grupy je znovu podgrupa, to stejné platí pro podgrupoidy. Nyní si tato tvrzení, ještě společně s jednou větou, dokážeme:

Věta (o průniku podgrupoidů): Nechť \((G,\cdot)\) je grupoid, \(I \neq \emptyset\) nějaká indexovací množina a \(H_i\) je podgrupoid grupoidu \(G\) pro všechna \(i \in I\). Potom je i \(\bigcap_{i\in I}H_i\) pogrupoid grupoidu \(G\).

Důkaz: Tabulka pro tento důkaz by vypadala takto:

Podle definice podgrupoidu chceme ukázat:

\(\forall a,b \in \bigcap_{i\in I}H_i:a\cdot b \in \bigcap_{i\in I}H_i\)

Tedy předpokládejme, že \(a,b \in\bigcap_{i\in I}H_i\), tedy že \(\forall i \in I:a,b \in H_i\). Potom, díky tomu že \(H_i\) jsou pogrupoidy, platí, že \(a\cdot b \in H_i\) pro všechna \(i \in I\). Víme tedy, že  \(\forall i \in I:a \cdot b \in H_i\), což znamená, že \(a\cdot b \in \bigcap_{i\in I}H_i\), což jsme chtěli dokázat. Q.E.D.

Věta (o průniku podgrup): Nechť \((G,\cdot)\) je grupa, \(I \neq \emptyset\) nějaká indexovací množina a \(H_i\) je podgrupa grupy \(G\) pro všechna \(i \in I\). Potom je i \( \bigcap_{i\in I}H_i\) pogrupa grupy \(G\).

Důkaz: Tabulka pro tento důkaz by vypadala takto:

Podle definice podgrupy chceme ukázat:

1. \(\forall a,b\in\bigcap_{i\in I}H_i:a\cdot b\in\bigcap_{i\in I}H_i\)
2. \(e\in\bigcap_{i\in I}H_i\)
3. \(\forall a\in\bigcap_{i\in I}H_i:a^{-1}\in\bigcap_{i\in I}H_i\)

Co se týče podmínky 1., tak bychom postupovali naprosto stejně, jako v předchozí větě, tedy tuto část budeme považovat za dokázanou.

Jdeme tedy k podmínce 2., víme, že pro všechna \(i \in I\) platí, že \(e \in H_i\), jelikož \(H_i\) jsou poddgrupy. A proto že jednotkový prvek patří do všech podgrup, tak patří i do průniku, tedy \(e \in \bigcap_{i\in I}H_i\).

Postup u důkazu poslední podmínky 3. už je v tuto chvíli asi jasný. Předpokládejme, že \(a\in \bigcap_{i\in I}H_i\), tedy \(\forall i\in I: a \in H_i\). Jelikož jsou ale \(H_i\)vše podgrupy (tedy uzavřené na inverze), tak pro všechna \(i \in I\) platí, že \(a^{-1} \in H_i\) a proto tedy víme, že  \(a^{-1} \in \bigcap_{i\in I}H_i\), což jsme chtěli dokázat. Q.E.D.

Věta (o podgrupách podgrup): Nechť \((G,\cdot)\) je grupa, \(H\) je podgrupa \(G\) a \(K\) je podgrupa \(H\). Potom \(K\) je podgrupa \(G\).

Důkaz: Zde by byla tabulka takováto:

Podle definice podgrupy chceme ukázat:

1. \(\forall a,b\in K:a\cdot b\in K\)
2. \(e\in K\)
3. \(\forall a\in K:a^{-1}\in K\)

Zde je ovšem důkaz velmi zřejmý. Určitě platí, že \(\forall a,b \in K: a \cdot b \in K\) jelikož je \(K\) podgrupa, ze stejného důvodu i \(e \in K\) a \(\forall a\in K: a^{-1} \in K\). Q.E.D.

V důkazu poslední věty bylo hezky vidět, že jsme v podstatě nepoužili to, čeho je \(K\) podgrupou. Jediná podmínka je, aby výchozí struktura s operací byla grupa, což splňuje jak grupa \((G, \cdot )\) tak i podgrupa \(H\), jelikož každá podgrupa je sama automaticky grupou.

Označit jako přečtené