Důkazy některých vlastností

Nyní si pro doplnění ukážeme důkazy některých tvrzení z předchozího videa, o kterých jsme v tom videu nehovořili:

Věta (o inverzi jednotkového prvku): Nechť \((G,\cdot)\) je grupa s jednotkovým prvkem \(e\) a mějme nějaký libovolný prvek \(a \in G\). Potom platí:

1. \(e^{-1}=e\)

2. \((a^{-1})^{-1}=a\)

Důkaz: Začneme s důkazem 1., tedy že inverzí jednotkového prvku je jednotkový prvek. Tabulka by vypadala takto:

Abychom toto dokázali, tak stačí, abychom ukázali, že součin jednotkového prvku s jednotkovým prvkem je jednotkový prvek (jak definice inverze napovídá), tedy že \(e \cdot e = e\), což je samozřejmě pravda, tak jednotkový prvek funguje (že při operaci s libovolným prvkem tento prvek nemění).

Nyní důkaz pro 2., tedy že inverzí inverzního prvku je prvek původní. Tabulka vypadá takto:

K dokázání tohoto tvrzení musíme ukázat, že inverze prvku \(a^{-1}\) je \(a\), což znovu plyne ze skutečnosti, že \(a^{-1} \cdot a = e \) a stejně tak \(a \cdot a^{-1} = e\) (musí se ukázat obě strany, na to nezapomenout, nestačí ověřit pouze jednu stranu). Q.E.D.

Věta (zákony o krácení): Nechť \((G,\cdot)\) je grupa a \(a,b,c \in G\). Potom platí:

1. \((a \cdot b = a \cdot c) \Rightarrow b=c\)

2. \((b \cdot a = c \cdot a) \Rightarrow b=c\)

Důkaz: Začneme s důkazem tvrzení 1. Toto tvrzení je tvaru implikace, tedy předpokládáme předpoklad a chceme dokázat závěr. Rozbor v tabulce by byl tento:

Budeme vycházet z rovnice \(a\cdot b = a \cdot c\) a chceme dokázat rovnost \(b=c\). Popravdě nám stačí pouze vynásobit předpokládanou rovnici inverzním prvkem k prvku \(a\), který určitě existuje (máme to v předpokladech). Tím pádem s využitím asociativitiy a definice inverzního a jednotkového prvku dostaneme:

\(\begin{array}{c}a\cdot b=a\cdot c\\a^{-1}\cdot(a\cdot b)=a^{-1}\cdot(a\cdot c)\\(a^{-1}\cdot a)\cdot b=(a^{-1}\cdot a)\cdot c\\e\cdot b=e\cdot c\\b=c\end{array}\)

Pro důkaz části 2. bychom udělali to stejné, jenom z druhé strany (vytvoření tabulky nechám na vás) a obdrželi bychom:

\(\begin{array}{c}b\cdot a=c\cdot a\\(b\cdot a)\cdot a^{-1}=(c\cdot a)\cdot a^{-1}\\b\cdot(a\cdot a^{-1})=c\cdot(a\cdot a^{-1})\\b\cdot e=c\cdot e\\b=c\end{array}\)

Tedy ukázali jsme co jsme chtěli ukázat. Q.E.D.

Označit jako přečtené