- Matematika
- Český jazyk
- Biologie
Johny5
06. 12. 2018 - 21:15
Dobrý den, nevím si rady s jedním důkazem.
Mám zobrazení , kde M, N jsou libovolné množiny.
Mám dokázat ekvivalenci \(f\ je\ proste\ <=> f^{-1}[ \ f\ [A]\ ] = A\ pro\ \forall A\ \subset M\)
Pro libovolnou funkci \(f\) platí \(A\ \subset f^{-1}[\ f[A]\ ]\) . Chci dokázat, jestliže f je prosté pak \(f^{-1}[f[A]]\subset A\)
Předpokládejme, že f je prosté a že nějaké \(x \in f^{-1}[f[A]]\) Podle definice vzoru def:\(f^{-1}[N]=\{a\in A; f(a)\in N\}\)platí \(f(x)\in f[A]\) tedy pro nějaké \(a \in A\) platí \(f(x)=f(a)\) Protože f je z předpokladu injektivní, pak \(x=a\in A\) Z věty o rovnosti množin potom dostáváme \(A\subset f^{-1}[f[A]] \ \wedge \ f^{-1}[f[A]] \subset A<=> f^{-1}[f[A]] = A\)
Z druhé strany implikace mi vychází, že z \(f^{-1}[f[A]] \) nevyplývá, že f je injektivní. Vězmeme třeba A = { 1, 2 }, B = { a }, potom Předpis platí, ale injektivni neni.
Pozn: \(f^{-1}[N]\) není inverzní zobrazení, ale vzor množiny.
Myslítte, že to mám takto správně ?
Děkuji za odpověď
Dominik Chládek
08. 12. 2018 - 15:51
Dobrý den,
a co je podle Vás \(f^{-1}\), když:
\(f(1)=a\\ f(2)=a\)
jak byste ji definoval? :)