Matematika Příklady od Vás: Okruhy, podokruhy generované množinou


avatar

Jana Paličková
19. 05. 2024 - 09:04

Mohu poprosit ještě o kontrolu příkladu:

V následujících okruzích určete podokruhy generované prvkem (množinou).         

Najděte charakteristiky těchto podokruhů: 

c) ⟨(8, 12)⟩ v  Z12 x Z13  

Ani ve vašich videích jsem na podobný příklad s kartézským součinem nenarazila. Děkuji. 

Zpět na příklady

avatar

Dominik Chládek 19. 05. 2024 • 23:00

Dobrý den, a vy tedy říkáte, že charakteristika podokruhu je 39? 

To by znamenalo, že každý prvek okruhu generovaného prvkem (8;12) musíme sečíst 39-krát než dostaneme prvek (0;0) a žádné menší takové číslo neexistuje, na základě čeho tak soudíte?

A zkoušela jste vytvořit ten okruh? Podle fotky toho moc nepřečtu. Zase jde o to prvek (8;12) sčítat a násobit po složkách, jen děláte na každé složce potom jiné modulo :)

sub comment
avatar

Dominik Chládek 21. 05. 2024 • 14:03

Násobit musíte i prvyk navzájem co vznikly, ne jenom ten první prvek :) takže násobit musíte například i (8;10) s (4;7) a podobně :)

u té charakteristiky byste našla ten nejmenší prvek pro každý prvek, a pak našla nejmenší společný násobek daných prvků. Tedy například v \((\mathbb{Z}_6,+,\cdot)\) májí prvky řád

0 - 1

1 - 6

2 - 3

3 - 2

4 - 3

5 - 6

a charakteristika je 6, protože je to nejmenší společný násobek všech těch řádů :)

sub comment
avatar

Jana Paličková upraveno: 20. 05. 2024 • 19:58

Sčítáním jsem vygenerovala těch 39 prvků - 

(8, 12), (4,1), (0,10), (8,9), (4,8), (0,7), (8,6), (4,5), (0,4), (8,3), (4,2), (0,1), (8,0), (4,12), (0,11), (8,10), (4,9),(0,8), (8,7), (4,6), (0,5), (8,4), (4,3), (0,2), (8,1), (4,0), (0,12), (8,11), (4,10), (0,9), (8,8), (4,7), (0,6), (8,5), (4,4), (0,3), (8,2), (4,1), (0,0)

Násobením pouze prvek (4,1), který už je vygenerovaný už i sčítáním a také (8,12), který je generátorem. 

 

Je můj další postup správný, pokud jsem si vybrala některý z prvků a sčítala sama se sebou až k prvku (0,0) a vyšel mi nejmenší počet opakovaného sčítání. Je pak toto nejmenší číslo charakteristikou daného podokruhu? V daném případě mi tedy vyšlo např. u prvku (4,0) číslo 3. (zkoušela jsem to na více prvcích, které jsme již hledala cíleně, aby mi vyšlo co nejmenší číslo. Dělám to dobře? Děkuji za odpověď .

sub comment
avatar

Dominik Chládek 20. 05. 2024 • 13:26

Rozumím, to je dobře, ale vy můžete násobit a sčítat prvky, které nově vytvoříte :)

Například začnete s prvkem (8;12), když ho sečtete se sebou tak vyjde prvek (4;11) a ten tam musíte přidat. Opačný prvek k prvku (8;12) je (4;1), takže ten tam také musíte přidat. Teď můžete násobit prvek (8;12) se sebou a stejně tak i s prvek (4;11) který už tam je, podíváte se na prvky co vznikly a ty tam přidáte :) 

Takže v podstatě kdykoli Vám nějakou operací vznikne nový prvek, tak ho musíte násobit a sčítat s ostatními prvky co už tam máte, plus vzít jeho opačný prvek. Což je hodně pracné, ale většinou po pár opakování jde odhadnout, co celkově vznikne :)

sub comment
avatar

Jana Paličková upraveno: 20. 05. 2024 • 07:26

Odpovědí si právě jistá nejsem. Při násobení prvku (8,12) jsem vygenerovala prvky (4,1) a (8,12), které se neustále opakují. 

Potřebovala bych vědět, jak mám postupovat, abych se dostala k výsledku a následně dopracovala další příklady stejného typu. 

sub comment
avatar

Dominik Chládek 19. 05. 2024 • 23:55

Naopak, to je spravny postup, pak jeste jen musite overit nasobeni (nasobit prvky se sebou a divat se, jestli nevznikne neco noveho) a opacne prvky :) ja se spis ptam na to zduvodneni, jestli je to odpoved a proc myslite ze je to ta spravna odpoved

sub comment
avatar

Jana Paličková 19. 05. 2024 • 23:09

Postupovala jsem podle instrukcí z přednášky. Prvek (8,12) jsem sčítala sám se sebou, dokud jsem nedošla k nulovému prvku (0, 0). Takže (8,12) + (8,12) = (16, 24), tudíž 16 modulo 12 je 4 a 24 modulo 13 je 11 - z toho prvek (4, 11). K tomu jsem opět přičetla prvek (8, 12) a postupovala tak dlouho, dokud jsem nedostala prvek (0,0). Tento postup asi tedy není zcela správný, jak tuším. 

Přihlásit se pro komentář