Příklady od Vás:
Okruhy, podokruhy generované množinou
Jana Paličková
19. 05. 2024 - 09:04
Mohu poprosit ještě o kontrolu příkladu:
V následujících okruzích určete podokruhy generované prvkem (množinou).
Najděte charakteristiky těchto podokruhů:
c) ⟨(8, 12)⟩ v Z12 x Z13
Ani ve vašich videích jsem na podobný příklad s kartézským součinem nenarazila. Děkuji.
Dominik Chládek 19. 05. 2024 • 23:00
Dobrý den, a vy tedy říkáte, že charakteristika podokruhu je 39?
To by znamenalo, že každý prvek okruhu generovaného prvkem (8;12) musíme sečíst 39-krát než dostaneme prvek (0;0) a žádné menší takové číslo neexistuje, na základě čeho tak soudíte?
A zkoušela jste vytvořit ten okruh? Podle fotky toho moc nepřečtu. Zase jde o to prvek (8;12) sčítat a násobit po složkách, jen děláte na každé složce potom jiné modulo :)
Dominik Chládek 21. 05. 2024 • 14:03
Násobit musíte i prvyk navzájem co vznikly, ne jenom ten první prvek :) takže násobit musíte například i (8;10) s (4;7) a podobně :)
u té charakteristiky byste našla ten nejmenší prvek pro každý prvek, a pak našla nejmenší společný násobek daných prvků. Tedy například v \((\mathbb{Z}_6,+,\cdot)\) májí prvky řád
0 - 1
1 - 6
2 - 3
3 - 2
4 - 3
5 - 6
a charakteristika je 6, protože je to nejmenší společný násobek všech těch řádů :)
Jana Paličková upraveno: 20. 05. 2024 • 19:58
Sčítáním jsem vygenerovala těch 39 prvků -
(8, 12), (4,1), (0,10), (8,9), (4,8), (0,7), (8,6), (4,5), (0,4), (8,3), (4,2), (0,1), (8,0), (4,12), (0,11), (8,10), (4,9),(0,8), (8,7), (4,6), (0,5), (8,4), (4,3), (0,2), (8,1), (4,0), (0,12), (8,11), (4,10), (0,9), (8,8), (4,7), (0,6), (8,5), (4,4), (0,3), (8,2), (4,1), (0,0)
Násobením pouze prvek (4,1), který už je vygenerovaný už i sčítáním a také (8,12), který je generátorem.
Je můj další postup správný, pokud jsem si vybrala některý z prvků a sčítala sama se sebou až k prvku (0,0) a vyšel mi nejmenší počet opakovaného sčítání. Je pak toto nejmenší číslo charakteristikou daného podokruhu? V daném případě mi tedy vyšlo např. u prvku (4,0) číslo 3. (zkoušela jsem to na více prvcích, které jsme již hledala cíleně, aby mi vyšlo co nejmenší číslo. Dělám to dobře? Děkuji za odpověď .
Dominik Chládek 20. 05. 2024 • 13:26
Rozumím, to je dobře, ale vy můžete násobit a sčítat prvky, které nově vytvoříte :)
Například začnete s prvkem (8;12), když ho sečtete se sebou tak vyjde prvek (4;11) a ten tam musíte přidat. Opačný prvek k prvku (8;12) je (4;1), takže ten tam také musíte přidat. Teď můžete násobit prvek (8;12) se sebou a stejně tak i s prvek (4;11) který už tam je, podíváte se na prvky co vznikly a ty tam přidáte :)
Takže v podstatě kdykoli Vám nějakou operací vznikne nový prvek, tak ho musíte násobit a sčítat s ostatními prvky co už tam máte, plus vzít jeho opačný prvek. Což je hodně pracné, ale většinou po pár opakování jde odhadnout, co celkově vznikne :)
Jana Paličková upraveno: 20. 05. 2024 • 07:26
Odpovědí si právě jistá nejsem. Při násobení prvku (8,12) jsem vygenerovala prvky (4,1) a (8,12), které se neustále opakují.
Potřebovala bych vědět, jak mám postupovat, abych se dostala k výsledku a následně dopracovala další příklady stejného typu.
Dominik Chládek 19. 05. 2024 • 23:55
Naopak, to je spravny postup, pak jeste jen musite overit nasobeni (nasobit prvky se sebou a divat se, jestli nevznikne neco noveho) a opacne prvky :) ja se spis ptam na to zduvodneni, jestli je to odpoved a proc myslite ze je to ta spravna odpoved
Jana Paličková 19. 05. 2024 • 23:09
Postupovala jsem podle instrukcí z přednášky. Prvek (8,12) jsem sčítala sám se sebou, dokud jsem nedošla k nulovému prvku (0, 0). Takže (8,12) + (8,12) = (16, 24), tudíž 16 modulo 12 je 4 a 24 modulo 13 je 11 - z toho prvek (4, 11). K tomu jsem opět přičetla prvek (8, 12) a postupovala tak dlouho, dokud jsem nedostala prvek (0,0). Tento postup asi tedy není zcela správný, jak tuším.