Matematika Příklady od Vás: Důkaz limity z definice


avatar

tyldonald
21. 11. 2021 - 16:10 upraveno:
21. 11. 2021 - 16:12

Zdravím,

řeším jeden příklad na důkaz limit z definice. Již jsem se díval na dvě videa, která jste k tomuto tématu natočil a moc mi to pomohlo při počítání jednodušších důkazů. Narazil jsem však na o něco složitější příklad a u něj si již nejsem jist, jak by se dokazoval. Stačil by mi jen hrubý nástřel toho, jak si s touto úlohou poradit. Předem moc děkuji za pomoc :)

Zpět na příklady

avatar

A.G.
26. 11. 2021 - 17:40

Limita tejto postupnosti patrí do kategórie pozriem a vidím. Výsledok je skutočne 6/5, ako píše Dominik. Ako to vypočítame? Vidíme, že v čitateľi i menovateľi sú divergentné postupnosti. Z tohto dôvodu potrebujeme celý výraz upraviť tak, aby sme dostali limitu konvergentnej postupnosti. Čitateľ i menovateľ vynásobíme číslom 1 (hodnota zlomku sa nezmení), v našom prípade násobíme výrazom (1/n^4)/(1/n^4). To znamená, že použijeme distributívny zákon pre násobenie. A práve teraz využijeme vety o limite postupnosti, konkrétne veta o súčte konvergetných limít. Uvídime, že dané limity jednotlivých postupností sa blížia k 0. A takto dostaneme, že limita danej postupnosti je skutočne 6/5 :)

Limitu máme, môžeme ísť na dôkaz. Stačí dosadiť do vzorca z definície. Zistíme, že pre každé kladné epsilónové okolie existuje taký člen postupnosti, že všetky ďalšie členy postupnosti až donekonečna ležia v tomto páse.


upraveno: 26. 11. 2021 - 17:40

Dominik Chládek

Dominik Chládek
22. 11. 2021 - 23:02

Dobrý den,

přesně tak, nejprve limitu vypočítejte (vyjde \(\dfrac65\)) a potom použijte onu definici limity k tomu výpočtu, získáte tak rozdíl který budete omezovat :) zkuste to rozepsat a nahrát sem a od toho se můžeme odrazit :)


avatar

A.G.
21. 11. 2021 - 20:09

Dobrý deň,

limitám som sa istý čas už nevenoval, avšak môj názor je takýto: využite vety o limitách postupnosti na výpočet limity. Keď máte limitu vypočítanú (nepočítal som, zatiaľ), máte všetko potrebné na dôkaz. Pre úplnosť dodám, že je to priamy dôkaz. 


Přihlásit se pro komentář