$Matematika$ Příklady od Vás: Kombinatorika - úloha

Lubos Milo
04. 04. 2020 - 20:31 upraveno:
10. 04. 2020 - 12:47

Dobrý den, vůbec si nevím rady s tímto příkladem, budu vděčná za postup.

Stejně velké utěrky čtvercového tvaru pokrývají obdélník ABCD, aniž se navzájem překrývají. Pověsí-li se jedna těsně vedle druhé na šňůru, je potřebná délka šňůry rovna obvodu trojúhelníka ABC. Kolik je utěrek?

Zpět na příklady

Dominik Chládek
04. 04. 2020 - 20:49

Dobrý den,

předpokládejme, že jsou utěrky čtverce o délce hrany $x$. Potom můžeme rozměry obdélníka vyjádřit jako $ax$ a $bx$ kde $a$ a $b$ jsou počty utěrek. ze kterých se strana skládá.

První otázka je, jak dlouhá bude šnůra, když pověsíme čtverce nedle sebe? Tak jde jenom o zjištění počtu čtverců a pokud jich je $a$ v jedné straně a $b$ ve straně druhé, tak jich máme dohromady $a\cdot b$ takže celková délka šňůry je počet čtverců krát jejich rozměry, tedy $abx$.

Druhá otázka je, jaký by byl obvod trojúhelníka, a to jenom sečteme jeho strany, které jsou $ax$, $bx$ a úhlopříčka obdélníka, která je z pythagorovy věty:

$y^2=a^2x^2+b^2x^2\\ y=\sqrt{x^2(a^2+b^2)}\\ y=x\sqrt{a^2+b^2}$

a teď když víme že se mají rovnat, tak máme:

$ax+bx+x\sqrt{a^2+b^2}=abx$

což můžu vidělit $x$:

$a+b+\sqrt{a^2+b^2}=ab$

což dává výsledek:

$b=\dfrac{2(a-1)}{a-2}$

což dává celočíselný výsledekm jen pro $a=3$ a pak je $b=4$, tekže jich $ab=12$.

Můžete předpokládat že $x=1$ tedy že utěrky mají jednotnou délku 1, to je vidět z výpočtu že na tom nesejde :)

Přihlásit se pro komentář