Matematika Příklady od Vás: Stredová rovnica hyperboly


avatar

Vladimír Habiňák
10. 01. 2019 - 17:13

Chcem poprosiť, lebo mi to akosi nejde, odvodiť stredovú rovnicu hyperboly z rovnice 

30xy+17x+11y = 105  

Za váš čas a ochotu vopred dík...

Zpět na příklady

Dominik Chládek

Dominik Chládek
10. 01. 2019 - 22:56

Dobrý den, 

nějak nikde nemůžu dohledat jak ten tvar vypadá, jediné co jde je tvářit se jako že je to funkce a vyjádřit:

\(y\left(30x+11\right)=105-17x\\y=\dfrac{105-17x}{30x+11}\\y=\dfrac{-{\displaystyle\frac{17}{30}}\left(30x+11\right)+{\displaystyle\frac{187}{30}}}{30x+11}\\y=-\dfrac{17}{30}+\dfrac{\displaystyle\frac{187}{30}}{30x+11} \)

a z toho mít asymptoty, ale jinak mě zatím nenapadá nic...nemáte k tomu nějaké materiály? :)



avatar

Vladimír Habiňák
11. 01. 2019 - 14:28

Zdravím !

Keď  sa mám priznať, tak musím povedať, že vlastne ja hľadám materiály a nik mi ich nevie poskytnúť. Ide o to, že som iba matematický náturista a popri inom som narazil na diofantické rovnice typu axy+bx+cy=d (čo je i hore uvedená rovnica) s vyjadrením y=niečo  a  to niečo je približne 1/x, čo som poznal zo strednej školy. No a u vás som narazil na hyperboly iného druhu kde x aj y sú druhé mocniny a niektorá musí byť záporná. Ten môj druh sú podľa mňa  krivky v 1. a 3. kvadrante s asymptotami na ose x a y  ale posunuté (neprecháza bodom (1,1)) po hlavnej osi hyperboly, ktorá je x=y. Ale to je iba môj odhad. 

Myslel som si, že by sa dalo viac zistiť o mojej rovnici s vašim prístupom (napr. ohniská, exentricita, poloosi ....) čo by mohlo mať význam pre moju hlavnú otázku otázku - má daná diofantická rovnica riešenie? Teda existuje podmienka riešiteľnosti tohto typu rovníc?  No a zatiaľ mi nikto nevedel poradiť s podmienkou riešiteľnosti  -  iba s riešením danej rovnice podľa učebnice a to zistením všetkých deliteľov čísla ad+bc.

Vhodná podmienka riešiteľnosti by mi pomohla (ak by nebola nejak moc zložitá), lebo by som vedel určiť zo 100, 400 alebo až 600 rovníc, ktoré mám v mojich príkladoch, ktorou sa mi oplatí zaoberať. Takže materiály nemám žiadne, ale ďakujem, že ste tomu venovali svoj čas. Ak by ste na niečo prišli budem rád. S poďakovaním Habo  :-))

 


upraveno: 11. 01. 2019 - 14:28

Dominik Chládek

Dominik Chládek
11. 01. 2019 - 15:01

Chápu, no nic se mi k tomu zatím nezadařilo dohledat, ale pokusím se nad tím více zamyslet a dám vědět, když na něco dojdu :)


avatar

filda
12. 01. 2019 - 11:17

Rovnici bych si převedl do maticového tvaru:

\( \begin{bmatrix} 1 & x & y \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -105 & 17/2 & 11/2 \\ 17/2 & 0 & -30/2 \\ 11/2 & -30/2 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ x \\ y \ \end{bmatrix} \)

a prostřední matici diagonalizoval tj. dostaneme něco jako: \(\begin{matrix} A = diag(c', d_1, ... ,d_n) \end{matrix}\)

rovnice kvadriky pak bude: \(1 = \dfrac{d_1}{-c'}x_1^2 + ... + \dfrac{d_n}{-c'}x_n^2\)

a středovou rovnici pak už jen určit doplněním na čtverec. :) 

Doufám, že to pomůže, sám už jsem tohle učivo zapomněl :( 



Dominik Chládek

Dominik Chládek
12. 01. 2019 - 11:56

Super nápad jít na to přes kvadriky, jen nevím, jestli to není kanón na vrabce :) ale moc díky za pomoc! :)



avatar

Vladimír Habiňák
31. 01. 2019 - 10:39

Zdravím !

Pozerám sa na tu stredovú maticu a premýšľam, prečo je tam mínus 30/2 a nie plus. Myslíte si, že by to takto išlo urobiť ? Dokončili by ste to čo vám výjde. Dík

 



avatar

filda
31. 01. 2019 - 16:09

Ano, tam mám zřejmě chybu. Nicméně zpětně jsem si uvědomil, že takto máme kvadriku vůči jiné souřadnicové bázi \((x_1', ... ,x_n') \), v níž je ta matice diagonální, takže z ní původní střed nevykoukáme :/  Tedy musíme ještě přejít do původní báze, pomocí matice přechodu, jež je tvořena z vl. vektorů naší matice :)

\((x_1',...,x_n') \rightarrow (x_1,...,x_n)\)

 

 



avatar

Vladimír Habiňák
07. 02. 2019 - 11:37

Zdravím !

...je zrejmé, že klasické stredové rovnice majú hlavné osi rovnobežné s osami x a y, ale v mojom prípade je hlavná os rovnobežná s priamkou x=y (aspoň predpokladám), tak som tušil, že v tom ešte niečo bude. No tu už preceňujete moje schopnosti :)) Mohli by ste mi spočítať vzorový príklad na moju rovnicu. Za ochotu vopred dík.


Přihlásit se pro komentář