Příklady od Vás:
body na přímce
Ladislav Chomát
25. 01. 2020 - 17:38
upraveno:
30. 01. 2020 - 22:56
Najděte kladná čísla a; b tak, aby body A=(a;0); B=(0;b); C=(2;4) ležely na jedné přímce a aby vzdálenost bodů A a B byla minimální. Vypočtěte tuto vzdálenost.
Použil jsem vzorec (C-A) = k*(B-A)
z toho jsem dostal 2-a = -a*k
4 = b*k
Pomocí Wolfram Alpha jsem přišel na to, že to bude asi a = -2; b = 2, ale vůbec nevím jak na to.
Tak teď mi došlo, že čísla musí být kladná, takže jsem v pytli :(
Předem děkuji za pomoc.
zdenek1 26. 01. 2020 • 14:58
Hlavní problém tvého výsledku je, \(-2\) není kladné číslo.
Přímky, procházející bodem C můžeme napsat ve tvaru \(y-4=k(x-2)\) (to je stejná rovnice, jakou jsi použil, jen jinak napsaná)
Pro bod A máme: \(0-4=k(a-2)\ \Rightarrow\ a=\dfrac{2k-4}k\)
Pro bod B máme: \(b-4=k(0-2)\ \Rightarrow\ b=4-2k\)
Vzdálenost AB se vypočítá: \(|AB|=f(k)=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2k-4}k\right)^2+(4-2k)^2}=2\sqrt{k^2+1}\dfrac{|k-2|}{|k|}\)
Protože ale přímka AB je klesající, musí být \(k<0\) a funkci \(f(k)\) můžeme přepsat do konečného tvaru
\(f(k)=2\dfrac{k-2}k\cdot\sqrt{k^2+1} \)
Protože hledáme minimum této funkce, spočítáme derivaci a položíme rovnu nule.
\(\dfrac{\text df}{\text dk}=\dfrac{2(k^3+2)}{k^2\sqrt{k^2+1}}=0\ \Rightarrow\ k=-\sqrt[3]2 \)
nyní stačí dosadit do vztahů pro a a b na začátku