$Matematika$ Příklady od Vás: peiklad

Misa1987
19. 12. 2019 - 13:10

muzete mi pomoct s prikladem: urcete polomer krivost a souradnice stredu oskulacni kruznice krivky k: y = e na -x v jejim pruseciku s osou y. udelala jsem prvni a druhou derivaci funkce (y) a pak dala do vzorce polomeru krivosti R = $ {[{1+(y')^2]} \over y''}$ a nevim jak dal. dekuji za pomoc

Zpět na příklady

zdenek1
20. 01. 2020 - 13:02

Průsečík s osou y je $T[0;1]$, derivace $y^\prime=-e^{-x} $ a $y^{\prime\prime}=e^{-x} $

dosazením do vzorce: $R=\dfrac{1+e^{2x}}{e^{-x}} $ a číselně pro $x=0$ je $R=2$

Střed křivosti leží na normále v bodě dotyku, rovnice normály je obecně: $y=y_0-\dfrac1{y_0^\prime}(x-x_0)$, kde $T[x_0;y_0] $ je bod dotyku. Označíme střed $S[m,n]$

V našem případě pak máme $n=1-\frac1{-1}(m-0)=m+1$

Dále bod dotyku leží na kružnici se středem $S$, poloměrem $R$. Dosazením do rovnice kružnice dostaneme

$(0-m)^2+(1-n)^2=4 $ a dosadíme za $n$

$m^2+(1-m-1)^2=4\ \Rightarrow\ m=\pm\sqrt2$. Z průběhu funkce pak vybereme kladný kořen.

Dostáváme $S=[\sqrt2;\sqrt2+1] $

Celé to vidíme na obrázku

Přihlásit se pro komentář