Příklady od Vás: Kombinatorika (Variace, Kombinace, Variace s opakováním)

Dobrý den, omlouvám se, že zasílám tolik příkladů, ale píšeme velkou písemku. Na videa na Youtubu jsem se podíval a vše pochopil, stejně ale mi nejde spočítat průměrně těžké příklady z učebnice. Moc bych vás chtěl poprosit o jejich vyřešení, i když výsledky znám. Napíšu vám sem jak jsem to počítal a pokud by to šlo, najděte prosím kde jsem udělal chybu a pak mi napiště správný postup. Mockrát děkuji.

VARIACE bez opakování

1) Výbor sportovního klubu tvoří 6 mužů a 4 ženy. Určete:

    a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře,

    b) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně,

    c) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby právě jedním z nich byla žena.

1) Můj postup

    a) Podle vzorce na variace - V(k,n)=n!/(n-k)! jsem si řekl, že pozic, tedy k je 4 a počet lidí je 6+4=10. Tedy do vzorce jsem dosadil V(4,10)=10!/(10-4)! a vyšlo mi 5040 možností, což je SPRÁVNĚ podle učebnice, ale u druhého příkladu už jsem se zasekl.

    b) Ze zadaní jsem vyvodil, že 2 pozice už jsou dané, tedy že muž je předseda a žena místopředsedkyně nebo naopak, což jsou 2 možnosti.  Zbylo mi tím pádem 8 lidí (n) a 2 pozice (k). Dosadil jsem do vzorce na variace - V(k,n)=n!/(n-k)! a vyšlo mi 56 možností. K tomu jsem přičetl ještě 2 zmiňované dříve a tím pádem mi celkově vyšlo 58 možností. Podle učebnice je ale správný výsledek 2688. 

   c) Řekl jsem si, že když právě jedním má být žena, zbyde mi tím pádem jen 9 lidí a 3 pozice, protože jedna bude právě tou jednou ženou zabraná. Dosadil jsem opět do vzorce V(k,n)=n!/(n-k)! --> V(3,9)=9!/(9-3)! a to mi vyšlo 504 možností. Pak jsem si řekl, že ta žena ale může být na jakékoliv ze 4 pozic a 504 možností by bylo jen pokud by mohla být právě třeba jen předsedkyní. Proto jsem vynásobil 504 x 4 = 2016 možností. To vyšlo teda mně. Výsledek v učebnici je ale 1920.

KOMBINACE bez opakování

2) Určete kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat

    a) trojici políček,

    b) trojici políček neležící v témže sloupci,

    c) trojici políček neležící v témže sloupci ani v téže řadě,

    d) trojici políček, která nejsou všechna téže barvy

2) Můj postup

     a) Řekl jsem si, že je 64 polí na šachovnici a jen 3 políčka z toho chci vybrat. Zapsal jsem to jako (64 nad 3). Dosadil jsem následně do vzorce pro kombinace K(k,n)=n!/(n-k)!xk!, tedy K(3,64)=64!/(64-3)!x3! a vyšlo mi 41664 kombinací, což by mělo být i správně (učebnice má ve výsledkách zapsáno jen (64 nad 3), takže si nejsem jistý).

     b) Tuhle část úlohy jsem úplně nepochopil, protože nevím zda tím, že 3 políčka neleží ve stejném sloupci autoři mysleli, že každé políčko musí ležet v jiném sloupci nebo jestli 2 políčka ve stejném sloupci mohou být nebo tak. Tak jsem nakonec šel s tou variantou, že va každém sloupci musí být jedno ze 3 políček. Tím pádem když je 8 sloupců a 3 políčka mi vyšlo (8 nad 3). Poté jsem to dosadil do vzorce --> K(3,8)=8!/(64-8)!x8! a vyšlo mi 56 kombinací. Podle učebnice je ale výsledkem (64 nad 3) - 8x(8 nad 3).

     c) Tuto část úlohy jsem si nedokázal v hlavě úplně představit, ale myslel jsem si, že pokud nesmí být 3 políčka ve stejné řadě ani sloupci, bude to ještě 2x méně než předchozí výsledek. Tedy 56:2=28 kombinací. Správný výsledek učebnice je ale (64 nad 3) - 16x(8 nad 3).

     d) Tady jsem si řekl, že pokud je 32 bílých polí a 32 černých polí, tak že existují jen dvě možnosti uspořádání těch 3 polí tak, aby neměly stejnou barvu. A to černá, černá, bílá a bílá, bílá, černá. Tedy jedné barvy se použijí 2 políčka a od druhé jen jedno. Tím pádem se použije například 32 černých polí  a 16 bílých a naopak. Proto výsledek na konci násobím ještě 2x. Po této úvaze jsem si tedy napsal (48 nad 3) a dosadil jsem to do vzorečku --> K(3,48)=48!/(48-3)!x3! což mi vyšlo jako 3459,2 kombinací. Poté jsem to vynásobil dvěma --> 3459 x 2 a vyšlo mi 6918 kombinací. Podle učebnice je to ale 64x(32 nad 2).

VARIACE S OPAKOVÁNÍM

3) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály.

3) Můj postup: Zkoušel jsem různé kombinace čísel, protože jsem si nevěděl rady, až jsem nakonec zkusil 32 na druhou ---> 32x32=1024. Tento výsledek souhlasil s výsledkem v učebnici, já však nemám tušení jak k tomu došli a proč zrovna 32 na druhou. A proč je v úloze zmíněno číslo 1500 když k výpočtu pak není potřeba? Mohli by jste mi to vysvětlit?

Výsledek podle učebnice: V'(2,32)=1024