Nespočetné množiny

Takhle logika selhává velmi brzy. Napříkla pokud bych měl jednoprvkovou množinu \(A\) s jedním prvkem řekněme třeba \(A=\left\{x\right\}\), tak potom mi taky pro jakýkoli prvek z \(A\) (v tomto případě jeden) najdete nějaké reálné číslo. Ale je zřejmě že se o bijekci nerovná, je zřejmě že reálných čísel v tomto případě je o mnoho více, proto neexistuje bijekce. Na bijekci mi nestačí injektivní zobrazení (každý obraz má jiný vzor), ale musí být i surjektivní (tedy vyčerpám všechny obrazy) :)

a co logika typu, že ad řekneš/řeknu jakékoliv N číslo, tak k němu najdu vždycky nějaké R číslo, a tím pádem to je bijektivní zobrazení a mohutnost by měla být stejná?