Podgrupa grupy a generování množinou: řešená cvičení

Podgrupy zbytkových tříd

Vysoká škola • 2 min

Určete podgrupu grupy $(\mathbb{Z}_{12},+)$ generovanou množinou:

a) $\{2;9\}$

b) $\{4;6;8\}$

4

Podgrupy celých čísel

Vysoká škola • 3 min

Určete podgrupu grupy $(\mathbb{Z},+)$ generovanou množinou:

a) $\{-1\}$

b) $\{0\}$

c) $\{30;33;42;45\}$

4

Různé typy matic

Vysoká škola • 11 min

Určete, které z následujících množin jsou podgrupou grupy $(M_{2\times 2}(\mathbb{Z}),+)$:

a) $\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\;\vert\;a,b\in\mathbb{Z}\right\}$

b) $\left\{\begin{pmatrix}a&b\\1&c\end{pmatrix}\;\vert\;a,b,c\in\mathbb{Z}\right\}$

c) $\left\{\begin{pmatrix}a&2a\\3a&4a\end{pmatrix}\;\vert\;a\in\mathbb{Z}\right\}$

3

Podgrupy grupy matic

Vysoká škola • 7 min

Určete podgrupu grupy $(M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, kde $|M| \neq 0$, $\cdot)$ generovanou množinou:

a) $\left\{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right\}$

b) $\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\}$

3

Podgrupy racionálních čísel

Vysoká škola • 8 min

Určete podgrupu grupy $(\mathbb{Q} \setminus \{0\},\cdot )$ generovanou množinou:

a) $\{2\}$

b) $\mathbb{N}$

2

Podgrupy permutací

Vysoká škola • 8 min

Určete podgrupu grupy $(\mathbb{S}_3 ,\circ )$ generovanou množinou:

a) $\{(1,2,3)\}$

b) $\{(2,3);(1;2)\}$

2