Podgrupa grupy a generování množinou: řešené příklady
Podgrupy zbytkových tříd
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 2 min
Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Z}_{12},+)\) generovanou množinou:
a) \(\{2;9\}\)
b) \(\{4;6;8\}\)
3
Podgrupy celých čísel
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 3 min
Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Z},+)\) generovanou množinou:
a) \(\{-1\}\)
b) \(\{0\}\)
c) \(\{30;33;42;45\}\)
3
Různé typy matic
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 11 min
Určete, které z následujících množin jsou podgrupou grupy \((M_{2\times 2}(\mathbb{Z}),+)\):
a) \(\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\;\vert\;a,b\in\mathbb{Z}\right\}\)
b) \(\left\{\begin{pmatrix}a&b\\1&c\end{pmatrix}\;\vert\;a,b,c\in\mathbb{Z}\right\}\)
c) \(\left\{\begin{pmatrix}a&2a\\3a&4a\end{pmatrix}\;\vert\;a\in\mathbb{Z}\right\}\)
2
Podgrupy grupy matic
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 7 min
Určete podgrupu grupy \((M_{2\times 2}(\mathbb{R})\), kde \(|M| \neq 0\), \(\cdot)\) generovanou množinou:
a) \(\left\{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right\}\)
b) \(\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\}\)
2
Podgrupy racionálních čísel
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 8 min
Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Q} \setminus \{0\},\cdot )\) generovanou množinou:
a) \(\{2\}\)
b) \(\mathbb{N}\)
1
Podgrupy permutací
Obtížnost: VŠ | Délka řešení: 8 min
Určete podgrupu grupy \((\mathbb{S}_3 ,\circ )\) generovanou množinou:
a) \(\{(1,2,3)\}\)
b) \(\{(2,3);(1;2)\}\)
1