Podgrupa grupy a generování množinou: řešená cvičení

Podgrupy zbytkových tříd

Vysoká škola • 2 min

Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Z}_{12},+)\) generovanou množinou:

a) \(\{2;9\}\)

b) \(\{4;6;8\}\)

4

Podgrupy celých čísel

Vysoká škola • 3 min

Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Z},+)\) generovanou množinou:

a) \(\{-1\}\)

b) \(\{0\}\)

c) \(\{30;33;42;45\}\)

4

Různé typy matic

Vysoká škola • 11 min

Určete, které z následujících množin jsou podgrupou grupy \((M_{2\times 2}(\mathbb{Z}),+)\):

a) \(\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\;\vert\;a,b\in\mathbb{Z}\right\}\)

b) \(\left\{\begin{pmatrix}a&b\\1&c\end{pmatrix}\;\vert\;a,b,c\in\mathbb{Z}\right\}\)

c) \(\left\{\begin{pmatrix}a&2a\\3a&4a\end{pmatrix}\;\vert\;a\in\mathbb{Z}\right\}\)

3

Podgrupy grupy matic

Vysoká škola • 7 min

Určete podgrupu grupy \((M_{2\times 2}(\mathbb{R})\), kde \(|M| \neq 0\), \(\cdot)\) generovanou množinou:

a) \(\left\{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right\}\)

b) \(\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\}\)

3

Podgrupy racionálních čísel

Vysoká škola • 8 min

Určete podgrupu grupy \((\mathbb{Q} \setminus \{0\},\cdot )\) generovanou množinou:

a) \(\{2\}\)

b) \(\mathbb{N}\)

2

Podgrupy permutací

Vysoká škola • 8 min

Určete podgrupu grupy \((\mathbb{S}_3 ,\circ )\) generovanou množinou:

a) \(\{(1,2,3)\}\)

b) \(\{(2,3);(1;2)\}\)

2