Příklady od Vás: Matematická analýza

Dobrý deň, chcela by som sa opýtať, či by ste mi vedeli poradiť pri týchto príkladoch. Ďakujem veľmi pekne

1.  Nech I je ohraničený uzavretý interval, f, g : I → R sú spojité. Dokážte, že na I existuje bod, v ktorom je vzdialenosť  grafov oboch funkcií minimálna. Platí uvedené tvrdenie aj pre otvorený interval?

2.  Nech f : R → R je spojitá v bode a, nech f(a) > 0. Potom existuje interval, na ktorom f nadobúda iba kladné hodnoty. Dokážte

3.  Nech f : [0,1] →[0,1] je spojitá. Potom existuje c ϵ [0,1], pre ktoré f(c) = c. Dokážte

4.  Nech f je spojitá na [0, ∞), f (0) =  limn→∞ f (x). Dokážte že f nadobúda maximum aj minimum.