Příklady od Vás: Je zobrazení linearní?

Dobrý den, 

Mám dokázat, že toto zobrazení je linearní: L:R4 ->P5 předpisem L (a,b,c,d)^T = (a-b+c)x^5 + (b-c+d)x^4 + (a-c+d)x^3 + (b-d+c)x^2 + (c-a+b)x + (d-a+b).

Jedná se o domací úkol, který jsem vypočítala, avšak mi můj důkaz byl zamítnut. Vím, že tam mají platit dvě podmíky a to L(x+y)= L(x)+L(y) a druhá L(λx) = λL(x) ale asi jsem se do toho zamotala. Ještě jsem měla vypočítat bázi a dimenzi jádra KerL a obrazu ImL. Což jsem udělala viz příloha, ale je to ImL prosím dobře?  Bylo mi na to obratem napsáno že mám připsat jak se to počítá a jak s tím souvisí sloupce té matice, i když jsem to dle mého uvedla (jak to mám tedy víc doplnit?) Proto Vás prosím o pomoc.

Předem moc děkuji, Adél.