zobrazení - obraz a vzor množiny

Johny5 06. 12. 2018 • 21:15

Dobrý den, nevím si rady s jedním důkazem.

Mám zobrazení   , kde M, N jsou libovolné množiny.

Mám dokázat ekvivalenci \(f\ je\ proste\ <=> f^{-1}[ \ f\ [A]\ ] = A\ pro\ \forall A\ \subset M\)

Pro libovolnou funkci \(f\) platí \(A\ \subset f^{-1}[\ f[A]\ ]\)  . Chci dokázat,  jestliže f je prosté pak \(f^{-1}[f[A]]\subset A\)

Předpokládejme, že f je prosté a že nějaké \(x \in f^{-1}[f[A]]\) Podle definice vzoru def:\(f^{-1}[N]=\{a\in A; f(a)\in N\}\)platí   \(f(x)\in f[A]\) tedy pro nějaké \(a \in A\) platí \(f(x)=f(a)\) Protože f je z předpokladu injektivní, pak \(x=a\in A\) Z věty o rovnosti množin potom dostáváme \(A\subset f^{-1}[f[A]] \ \wedge \ f^{-1}[f[A]] \subset A<=> f^{-1}[f[A]] = A\)

Z druhé strany implikace mi vychází, že z  \(f^{-1}[f[A]] \)​ nevyplývá, že f je injektivní. Vězmeme třeba A = { 1, 2 }, B = { a },  potom  Předpis platí, ale   injektivni neni.

Pozn: \(f^{-1}[N]\) není inverzní zobrazení, ale vzor množiny.

Myslítte, že to mám takto správně ?

Děkuji za odpověď