Shrnutí a doplnění první sekce (CIS)



Předpoklady

Přirozená čísla a zákony o operacích

video zde

Přirozená čísla jsou základním číselným oborem, který je nedílnou součástní ostatních číselných oborů o kterých budeme mluvit za chvíli. Označujeme je symbolem \(\mathbb{N}\) a slouží k popisu počtu věcí (celků) jako například počet domů, zbraní, zásob a podobně, proto přívlastek "přirozená". S přirozenými čísly samozřejmě, stejně jako se všemi ostatními čísly, provádíme různé operace. Nás většinou význačně zájímají operace sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Pro operaci sčítání a operaci násobení platí například komutativní zákon, který v překladu znamená, že může při součtu nebo součinu dvou čísel můžeme zaměnit jejich pořadí. Jinými slovy \(2 + 3 = 3 + 2\) pro součet a \(2 \cdot 3 = 3 \cdot 2\) pro součin, obecně zapsáno jako:

\(a+b=b+a\)
\(a \cdot b = b \cdot a\)

Podobně pro obě operace platí asociativní zákon, který v překladu znamená, že při sčítání tří a více čísel je jedno, jaké pořadí ve sčítání zvolíme, podobně je tomu tak i pro součin. Jinými slovy \(2+(3+4)=(2+3)+4\) pro součet a \(2\cdot (3 \cdot 4)=(2 \cdot 3)\cdot 4\) pro součin, obecně tedy:

\(a+(b+c)=(a+b)+c\)
\(a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c\)

Do souvislosti dává obě operace distributivní zákon, což je v podstatě zákon o roznásobování, který hovoří o tom, jak spolu operace násobení a sčítání spolupracují a je to přesně tak, jak bychom čekali a jak se sami můžete přesvědčit na konkrétních příkladech:

\(a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c\)

Přirozená čísla jsou uzavřená vůči sčítání a násobení, což znamená, že sečtením nebo vynásobením dvou přirozených čísel znovu obdržíme přirozené číslo. To neplatí pro operace rozdílu (odčítání) a podílu (dělení), tam už dostáváme v některých situacích výsledky, které přirozenými čísly nejsou.

To ovšem neznamená, že se v některých situacích ve výsledku přirozená čísla neobjeví. Máme například \(8-2=6\) nebo \(8:2=4\) a to přirozená čísla jsou, ovšem \(2-8=-6\) nebo \(2:8=0,25\) a to přirozená čísla nejsou. Uzavřenost tedy znamená, že pro součet a součin vždy jako výslednou hodnotu operace obdržíme přirozené číslo, pro odčítání a dělení to ovšem ve všech případech neplatí.

Důležitá poznámka: Na tomto webu ve všech videích a materiálech které tvořím automaticky předpokládám, že nula není přirozeným číslem. To, jestli je nula brána jako přirozené číslo nebo není a která varianta je výhodnější vzdy záleží na autorovi. Ovšem obecně a s nadsázkou řečeno platí, že kdo studoval matematiku v Brně má přirozená čísla bez nuly a kdo v Praze, tak s nulou - a já patřím do první kategorie :)

Dekadický zápis a jeho využití

video zde

Pokud zapíšeme například číslo \(357\), tak je všem zřejmě jasné, o jakou hodnotu se jedná a jaké množství tato hodnota představuje. Všechna čísla, která zapíšeme (neřekneme-li jinak), automaticky vnímáme v desítkové soustavě.

Této soustavě se říká desítková proto, že využívá deset číslic, jsou to číslice \(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)\(6\)\(7\)\(8\)\(9\) a zároveň že každá číslice, kterou v zápisu čísla použijeme, reprezentuje mocninu desítky. Jinými slovy naše číslo \(357\) chápeme tak, že máme \(7\) jednotek (tedy \(7 \cdot 10^0\)), \(5\) desítek (tedy \(5 \cdot 10^1\)) a \(3\) stovky (tedy \(3 \cdot 10^2\)), matematicky zapsáno jako:

\(357=3\cdot 10^2+5 \cdot 10^1+7\cdot 10^0\)

nebo rozepsáno jako:

\(357=3\cdot 100+5 \cdot 10+7\cdot 1\)

čemuž říkáme dekadický zápis čísla \(357\).

Všimněte si, jako velkou roli v tomto zápisu hraje pozice cifer. Například \(357\) a \(753\) jsou absolutně odlišná čísla s odlišnými hodnotami a přitom jsme je zapsali pomocí stejných cifer, jen jsem změnil jejich pořadí. Podobně například číslice \(0\) sama o sobě reprezentuje nulovou hodnotu, ale jednoduchým přidáním této cifry na konec nějakého čísla svou pozicí číslo obrovsky změní, kupříkladu čísla \(357\) a \(3570\).

Poznámka pro zvídavé: Je to pro nás naprosto automatické a ani nad tím nepřemýšlíme, ovšem je dobré mít tyto věci všechno na paměti. Existuji i jiné soustavy, jako například dvojková (binární) soustava využíváná počítači, nebo šestnásctková (hexadecimální) soustava ve které jsou kupříkladu zapsáný barvy. Pro tyto další soustavy by platila odlišná pravidla, kupříkladu pro znaky dělitelnosti či pro klasické operace sčítání nebo násobení.

Celá čísla

video zde

Obor celých čísel označujeme jako \(\mathbb{Z}\). Celá čísla "napravují" přirozená čísla o uzavřenost operace rozdílu (odčítání). To znamená, že celá čísla jsou uzavřená na operaci sčítání, násobení a odčítání, stále ovšem nejsou uzavřená a operaci dělení (mohli bychom využít stejný protipříklad, jako v předchozích odstavcích). 

Obor celých čísel je první, ve kterém má smysl hovořit o opačného prvku. Ten vždy vždy určujeme k nějakému konkrétnímu číslu. Je to takové číslo, které v součtu s původním číslem dává nulu. Například pro číslo \(-3\) je opačné číslo \(3\), jelikož \(-3+3=0\).  

Stejně tak je dobré zmínit pojem neutrálního prvku ke sčítání a k násobení. Neutrální prvek je číslo, které při provedení dáne operace s jakýmkoli číslem toto číslo nemění. Pro sčítání je to \(0\) a pro násobení je to \(1\).


Poznámka pro zvídavé:

Obecně máme mnohem více druhů operací, ať už jsou to binární (ze dvou čísel vytváříme jedno nové, například sčítání, odčítání, násobení nebo dělení) nebo unární (z jednoho čísla tvoříme jedno nové, například umoňování, odmocňování nebo absolutní hodnota). O tom ale více v tématu Abstraktní algebra, stejně jako o vlastnostech operací, jako jsou komutativita, asociativita či neutrální prvek.

Stejně tak by někoho mohlo zarazit, jestli existují situace, kdy (pro nás naprosto přirozený) zákon komutativity neplatí. A je tomu skutečně tak, takové situace existují, je to například v případě součinu matic nebo skládání permutací, ale o tom v budoucnu :)

Řešené příklady

Zatím nejsou řešené příklady ...

Testy splněno na -%

Přečtení článku

splněno - %

Obtížnost: ZŠ | Délka řešení: 1 min

  • Odškrtnutí přečtení -%


Podrobnosti o látce

Celkové hodnocení (0 hodnotící)

0%

Tvé hodnocení (nehodnoceno)

Pro hodnocení musíte být přihlášen(a)


Autor videa
avatar
Dominik Chládek


Obtížnost: ZŠ